Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826-09-17 - 1866-07-20)

Bernhard Riemann est un mathématicienmathématicien allemand à qui l'on doit notamment des innovations majeures en géométrie. Ses travaux se sont révélés d'une féconditéfécondité insoupçonnée lorsque EinsteinEinstein les a repris pour fonder sa théorie de la relativité généralerelativité générale.

Second d'une famille de six enfants, Bernhard Riemann reçoit une éducation rigoureuse et se destine, encouragé par son père qui est pasteur luthérien, à la théologie. A l'école, c'est un élève studieux et appliqué, qui fait preuve d'un intérêt particulier pour les mathématiques. Aussi le directeur du lycée l'autorise à consulter des ouvrages de mathématiques de sa propre bibliothèque, dont la Théorie des nombres de Legendre. Riemann en compulse les 900 pages en une semaine et en dira plus tard : « Das ist ja ein wundervolles Buch ; ich weiss es auswendig (c'est un livre merveilleux ; je le connais par cœur) ».

Riemann entre à l'université de Göttingen en 1846, où il se détourne de la théologie pour étudier les mathématiques, avec le consentement de son père. A cette époque Göttingen n'est pas encore le centre réputé que l'on connaît : Gauss, qui n'aime guère enseigner, n'y donne que des leçons élémentaires. Riemann se rend ainsi à l'université de Berlin où il rencontre Eisenstein, Jacobi et surtout Dirichlet : c'est une époque riche pour Riemann qui trace les fondations de sa théorie des fonctions à variables complexes. Son mode de pensée trouve écho auprès de Dirichlet, qui comme lui privilégie l'intuition et évite autant que possible les longs calculs.

Riemann retourne à Göttingen en 1849, où, sous la direction de Gauss, il prépare sa thèse (dissertation inaugurale) intitulée Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Größe (Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe). Soutenue en 1851, la thèse de Riemann contient de nombreux résultats auxquels son nom reste attaché : il explique comment rendre une fonction univoque en faisant décrire à la variable une surface (dite de Riemann) au lieu du plan ; il en définit les points de ramification, étudie son « ordre de connexion », introduit les représentations conformes, reformule le principe de Dirichlet, etc. Les idées brillantes de Riemann marquent le début d'une théorie nouvelle et extrêmement fertile de la géométrie.

Sur les recommandations de Gauss, Riemann se voit offert un poste à Göttingen, où il prépare son mémoire d'habilitation. Il discute en 1853 de la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique, et construit à ce dessein ce que nous appelons désormais l'intégrale de Riemann. Soutenu en 1854, le mémoire d'habilitation de Riemann, Über diedie Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie), est un chef-d'œuvre, qui ne sera vraiment compris que bien des années plus tard : Riemann y traite des fonctions complexes à plusieurs variables, introduit la notion de variété riemannienne ainsi que son tenseurtenseur de courbure. Seul Gauss semble avoir apprécié la profondeur des vues de Riemann, lesquelles formeront le cadre dont aura besoin Einstein pour sa théorie de la relativité générale.

En 1855, Dirichlet reprend la chaire de Gauss, mais Riemann, en proie à des problèmes financiers, peine à obtenir un poste jusqu'en 1857, où il publie un autre article fondamental : Theorie der Abelschen Funktionen (Théorie des fonctions abéliennes).

La célèbre hypothèse de Riemann date quant à elle d'un article datant de 1859, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sur le nombre de nombres premiersnombres premiers inférieurs à une quantité donnée) : Riemann reformule le problème de la répartition des nombres premiers en terme de propriété d'une fonction complexe (la fonction zeta de Riemann) qu'il étudie. Il décrit succintement comment prouver le théorèmethéorème des nombres premiers en démontrant que la fonction zeta ne s'annule pas à la frontière d'une région dite critique : Hadamard et de la Vallée-Poussin y parviendront en 1896. Toutefois l'hypothèse de Riemann, selon laquelle la fonction zeta ne s'annule pas, sinon sur une droite, demeure une question ouverte.

Riemann épouse en 1862 une amie d'une de ses soeurs, Elise Koch, qui lui donnera une fille. De santé fragile, Riemann souffrait chroniquement de dépression et d'hypocondrie. En automneautomne de cette même année, il est atteint d'une pneumoniepneumonie qui s'aggrave en tuberculosetuberculose. Malgré les voyages en Sicile et en Italie afin de profiter du climatclimat plus doux, la maladie l'emporte sur les rives du Lac Majeur en 1866.