Évariste Galois : le génie des mathématiques mort à 20 ans

En 1957, Leopold Infeld, le collaborateur d'Albert EinsteinEinstein avec lequel il a écrit L'évolution des idées en physique, publiait un livre au titre évocateur Whom the gods love, clairement inspiré d'une citation de l'auteur grec Ménandre, « Whom the gods love diedie young ». Il s'agissait d'une biographie romancée de la vie d'Évariste Galois. Hélas, la traduction française de cet ouvrage n'a pas conservé ce titre, ce qui aurait donné : Ceux que les dieux aiment meurent jeunes. Il était pourtant tout indiqué pour caractériser la vie d'un homme, mort en duel à presque 21 ans pour une femme, et dont les quelques dizaines de pages portant sur une obscure question de théorie des équations vont changer les mathématiques et la physique théorique à jamais.

Évariste Galois est né à Bourg-la-Reine le 25 octobre 1811. Symptomatiquement, comme bien des scientifiques de premier plan (Pierre-Gilles de Gennes, Erwin SchrödingerErwin Schrödinger ou Willard Boyle par exemple), il ne fréquentera l'école qu'au début de son adolescenceadolescence, éduqué à la maison par sa mère, Adélaïde Marie Demante, qui le nourrit de culture latine.

Galois, le génie incompris

Il n'entrera au lycée qu'à 12 ans et ce sera à Louis-le-Grand. La découverte des mathématiques, avec le traité de géométrie de Legendre, sera décisive pour Galois et il finira par consacrer tout son temps et son énergie à la lecture des ouvrages des grands mathématiciensmathématiciens de son époque, Lagrange bien sûr mais aussi Euler, Gauss, Jacobi. Au grand désespoir de ses professeurs, c'est « la fureur des mathématiques qui le domine » désormais, comme l'écrit l'un d'entre eux.

L'un de ses professeurs, Richard, devine son génie mathématique et s'attend à ce qu'il entre à l'école polytechnique, la Mecque des mathématiques française de l'époque et le rêve de Galois. Il faut croire que la tournure d'esprit du jeune mathématicien n'était pas conforme à ce que l'on attendait de lui car il échoue au concours. Tout comme Vladimir Arnold des années plus tard, Galois écrira un texte qui n'est pas tendre avec l'enseignement des mathématiques en France.

La fin tragique du découvreur de la théorie des groupes

Après bien des péripéties que l'on peut trouver dans sa biographie, il meurt le 31 mai 1832 des suites d'un duel pour une femme. Il a tout de même eu le temps de coucher quelques-unes de ses idées sur le papier mais elles resteront inconnues des mathématiciens jusqu'à ce que les écrits de Galois soient redécouverts une dizaine d'années plus tard par Joseph Liouville.

Le 4 septembre 1843, ce grand mathématicien annonce à l'Académie des sciences qu'il vient de trouver dans les papiers de Galois une solution aussi exacte que profonde au problème de la résolubilité par radicaux des équations algébriques.

La naissance de la théorie des groupes

De quoi s'agissait-il ? Tous les lycéens savent que les solutions d'une équation du second degré s'expriment à partir d'une formule faisant intervenir une racine carrée construite à partir des coefficients des monômes de l'équation. Des radicaux interviennent aussi pour les équations du troisième, du quatrième degré et pour quelques autres équations simples de degrés supérieurs comme Xn=C.

Les mathématiciens précédant Galois ont fait des efforts méritoires pour montrer qu'il devait en être de même pour des équations du cinquième degré et plus généralement pour des équations arbitraires de degrés supérieurs. Les échecs répétés pour le cas du cinquième degré commencent à faire penser certains que ce n'est tout simplement pas possible. Se pose alors une simple question préliminaire avant de faire des recherches pour trouver des formules de résolutionsrésolutions d'équations algébriques Pn(X) arbitraires à l'aide de radicaux : est-on sûr que ces formules existent dans les divers cas des polynômes étudiés ?

Niels Henrik Abel, né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavanger et mort le 6 avril 1829 (à 26 ans) à Froland près d'Arendal, est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d'intégrale généralisée, sur la notion d'intégrale elliptique ; en algèbre, sur la résolution des équations. © Wikipédia, domaine publique

Le jeune mathématicien norvégien Niels Henrik AbelNiels Henrik Abel prouve qu'il n'en est rien en général pour des polynômes de degré 5, avant de mourir de la tuberculosetuberculose le 6 avril 1829 (à 26 ans). Galois redécouvre ce résultat indépendamment, mais lui obtient une méthode générale pour examiner le problème de l'existence de solutions exprimées à l'aide de radicaux et y répondre. Pour cela, il jette les bases de ce que l'on connaît aujourd'hui sous le nom de théorie des groupes.

Une révolution en mathématique et en physique

Une bibliothèque entière ne suffirait pas pour rendre justice à l'importance du concept de groupe en mathématique. Vers la fin du XIX^e les mathématiciens se rendent compte que l'approche et les concepts introduits par Galois se retrouvent dans toutes les branches des mathématiques. En témoigne cette anecdote : lors d'une conversation avec un autre mathématicien norvégien, Sophus Lie, qui avait entrepris d'étendre la théorie de Galois des équations algébriques aux cas des équations différentielles et aux dérivées partielles, le grand mathématicien français Henri PoincaréHenri Poincaré n'hésite pas à dire : « toutes les mathématiques sont une histoire de groupes ». Poincaré lui-même donnera l'exemple dans ses travaux sur la topologie algébrique, discipline qu'il a presque créée à lui tout seul.

Le grand mathématicien et physicien Hermann Weyl, le plus doué des élèves de Hilbert, a beaucoup fait pour montrer l'importance des groupes en physique quantique. On lui doit aussi un excellent petit livre de vulgarisation sur le concept de groupe (Symétrie et mathématique moderne) et ses connexions avec la notion de symétrie dans les sciences de la nature, que ce soit la cristallographie, la biologie ou la théorie de la relativité ou même le domaine artistique. © ETH Zürich

La nouvelle conception de Galois des mathématiques va s'imposer et se généraliser. On peut dire, d'une certaine façon, qu'elle consiste à remplacer les calculs par les idées. Elle va contribuer à la création de l'algèbre moderne sous l'impulsion d'Emmy Noether et des ouvrages que lui consacre Bartel van der Waerden. L'un des pères du groupe Bourbaki, le mathématicien Jean Dieudonné, indique dans son célèbre ouvrage, Pour l'honneur de l'esprit humain, que bien souvent lorsque l'on ne comprend pas bien quelque chose en mathématique, il est utile et fécond de faire intervenir la théorie des groupes. Les travaux de Mikhaïl Gromov en sont d'ailleurs une bonne illustration.

Mais il ne faudrait pas croire que la théorie des groupes se limite aux mathématiques pures. Les groupes de Lie sont d'une importance fondamentale en physique des particules élémentaires où ils permettent de construire les équations du modèle standard, par exemple. La théorie de la relativité restreinterelativité restreinte repose elle-même lourdement sur deux groupes, celui de Lorentz et celui de Poincaré.