Jeu mathématique : le nombre Pi est-il le fruit du hasard ?

Ce type de méthodes est aujourd'hui très utilisé en mathématiques. On parle de méthodes de Monte-Carlo, en hommage à ce haut lieu du hasard.

Question de Buffon

En 1777, Buffon soulève le problème suivant : « si on lance une aiguille de longueur l sur un parquetparquet dont les lattes sont de largeur a (avec l ≤ a), quelle est la probabilité p pour que l'aiguille tombe à cheval sur deux lattes ? ».

Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon. © Sanditraverooka, Wikimedia commons, CC 4.0

Aussi étonnant que cela puisse paraître, la réponse fait intervenir le nombre Pi : la probabilité est égale à 2 l divisé par pipi a. Ce résultat donne une façon étonnante de calculer Pi en jetant des aiguilles sur un parquet.

Jets d’aiguilles

Réaliser l'expérience de Buffon n'est pas bien compliqué, juste un petit peu fastidieux. Avant de rapporter quelques résultats historiques, remarquons que le phénomène ne dépend pas de l'échelle employée. Le résultat est uniquement fonction du rapport l / a. Il se trouve que plusieurs expérimentateurs ont utilisé des rapports distincts, voici leurs résultats :

• en 1850, Wolf lança 5.000 aiguilles de 8 unités de long sur un parquet dont les lattes ont une largeur de 10 unités (rapport 0,8). Il trouva 2.532 intersections ;
• en 1855, Smith lança 3.204 aiguilles (rapport 0,6) et trouva 1.218 intersections ;
• en 1860, de Morgan lança 600 aiguilles (rapport 1) et trouva 382 intersections ;
• en 1864, le capitaine Fox lança 1.030 aiguilles (rapport 0,75) et trouva 489 intersections ;
• en 1901, Lozzerini lança 3.408 aiguilles (rapport 0,83) et trouva 1.808 intersections ;
• en 1925, Reina lança 2.520 aiguilles (rapport 0,5419) et trouva 859 intersections.

Nous ne citerons pas tous les autres valeureux et patients lanceurs d'aiguilles mais nous obtenons des valeurs de Pi comprises entre 3,13 et 3,17 ; ce qui correspond bien à la réalité mais montre qu'il faut un très grand nombre de jets pour obtenir une précision très faible.

Méthodes de Monte-Carlo

Les méthodes de calcul s'appuyant ainsi sur le hasard sont nommées méthodes de Monte-Carlo. John von Neumann (1903 - 1957) préconisa leurs usages dans le cadre du projet Manhattan de constructionconstruction de la première bombe atomique.