Jeu mathématique : le mystère étonnant des nombres

Les nombres cachent des mystères étonnants, ainsi le produit des quatre premiers nombres entiers augmenté de 1 est un carré puisque 1.2.3.4 + 1 = 25 = 5². Hasard, direz-vous ? On trouve le même résultat avec les quatre nombres suivants 2.3.4.5 + 1 = 121 = 11².

Encore un hasard ou le résultat est-il général ?

Le monde fascinant des nombres. © Geralt, Pixabay, DP

Réponse

Force est de constater que 3.4.5.6 + 1 = 361 = 19² mais cela ne suffit pas pour prouver que le résultat est général. Pour cela, on doit considérer un nombre entier x quelconque, les quatre nombres consécutifs x - 1, x, x+ 1 et x+ 2 et le nombre A = (x - 1).x.(x+ 1).(x+ 2) + 1.

Il s'agit de montrer que A est le carré d'un entier. Ce nombre A se développe en un polynômepolynôme de degré quatre de x, soit x⁴ + 2 x³ - x² - 2 x + 1. Ce problème qu'on pensait un problème d'arithmétique se révèle un problème d'algèbre ! Il s'agit de prouver que A est le carré d'un polynôme de degré deux. Les deux premiers termes x⁴ + 2 x³ montrent que ce polynôme de degré deux doit commencer par x² + x. Il suffit alors de calculer le carré de x² + x - 1 pour conclure :

(x - 1).x.(x+ 1).(x+ 2) + 1= (x² + x - 1) ².