Jeu mathématique : comment calculer la proportionnelle intégrale ?

Certains mouvements sociaux réclament la proportionnelle intégrale. A priori une idée simple. Pour un parti, 10 % d'électeurs donne 10 % d'élus ! Comment réaliser ce résultat mathématiquement parlant ?

La répartition des suffrages. © Lankazame, wikipedia commons, CC 3.0

Réponse 

Il existe plusieurs méthodes pour essayer de réaliser ce résultat. Nous décrivons ici les deux principales, dues toutes les deux à des politiciens américains, Hamilton et Jefferson. Pour les étudier et les comparer, prenons un exemple. Admettons que trois partis, Alpha, BêtaBêta et Gamma, se présentent aux élections, et que 100 sièges soient à pourvoir. Comment faire pour que le nombre de sièges de chacun soit proportionnel au nombre de ses électeurs ?

Cas idéal

Imaginons un cas où les votes se répartissent ainsi :

Le nombre total d'électeurs est égal à 50.000 ce qui fait un siège pour 500 électeurs, on obtient ainsi la répartition des sièges :

Bien entendu, il est presque impossible que les divisions tombent juste comme dans ce cas !

Cas plus réaliste

Imaginons maintenant un cas où les divisions admettent des restes :

Le nombre d'électeurs est le même, on obtient la répartition des sièges :

Un siège reste à pourvoir, à qui l'attribuer ? Deux algorithmes sont relativement naturels pour le faire, l'algorithme H et l'algorithme J.

Algorithme H

Le premier algorithme que nous présentons est dû à Alexander Hamilton (1757 - 1804), le premier secrétaire du trésor des États-Unis. On examine les voix utilisées (500 par siège) puis les restes de voix non utilisées :

On attribue le siège au plus fort reste, à Alpha ici. Bien sûr, il existe des cas plus compliqués comme celui-ci :

Le nombre d'électeurs est égal à 60.570. Il faut donc 605,7 voix pour un siège. Le nombre de sièges est égal au quotient du nombre de voix par 605,7. Ainsi, 98 sièges sont attribués, il en reste 2, que l'on distribue dans l'ordre des restes selon le tableau ci-dessus.

Paradoxe de la scission

L'algorithme H (au plus fort reste) permet un paradoxe étonnant où un parti peut gagner des sièges en se scindant en deux. Dans l'exemple qui suit, le parti Bêta se scinde en Bêta1 et Bêta2, le total des électeurs reste le même... mais cet artifice lui fait gagner un siège !

Algorithme J

Le second algorithme que nous présentons est dû à Thomas Jefferson (1743 - 1826), le troisième président des États-Unis. Il consiste à répartir les sièges non attribués au plus fort taux (le rapport voix/siège). Voici un exemple où on compare les algorithmes H et J.

Le nombre d'électeurs est égal à 85.518. Il faut donc 855,18 voix pour un siège.

Selon l'algorithme utilisé, la répartition des sièges varie. Le paradoxe de la scission se retrouve avec l'algorithme J, avec un résultat qui peut être différent.

Pourcentage minimal

On peut essayer de limiter les effets du paradoxe de la scission, qui contribue à l'émiettement des partis politiques en réclamant un pourcentage minimal pour attribuer des sièges, 5 % comme aux élections européennes en France par exemple, 3 % en Italie. Dans aucun cas, un système proportionnel intégral n'est réellement possible.

En conclusion

L'objectif de la proportionnelle est de répartir les sièges en fonction des pourcentages de voix obtenues. Ce scrutin s'oppose à un système électoral majoritaire. Les résultats diffèrent en fonction des algorithmes retenus.