Jeu mathématique : le calcul de la vitesse moyenne des automobiles

Si vous roulez 100 kilomètres à la vitesse moyenne de 50 km/h puis les 100 kilomètres suivants à la vitesse moyenne de 100 km/h, quelle est votre moyenne sur les 200 kilomètres ? Il semble logique de répondre 75 km/h, la moyenne entre 50 et 100, mais est-ce si sûr ?

Avant de répondre, réfléchissons un peu. L'important est de savoir en combien de temps les 200 kilomètres ont été effectués. La première partie du trajet a demandé deux heures et la seconde une heure, donc le tout trois heures. La vitesse moyenne est donc de 200/3 = 66,66 km/h soit un peu moins que prévu par un calcul hâtif.

La moyenne que nous avons employée est la moyenne harmonique, différente de la moyenne arithmétique.

Quelle est la vitesse moyenne des deux voitures ?

L'autoroute Paris/Marseille étant découpée en huit tronçons consécutifs de 100 kilomètres chacun, on a relevé les vitesses moyennes de deux voituresvoitures (A et B) effectuant ce trajet :

Quelle est la voiture la plus rapide ? Quelle est sa vitesse moyenne ?

Calculer la moyenne des vitesses des automobiles. © Pasja1000, Pixabay, DP

Réponse :

La voiture A. Pour le démontrer, on s'intéresse au temps de parcours de chaque partie. Pour A, cela donne successivement : 100 / 50, 100 / 100, 100 / 120, etc. Le temps total est donc :

(100/50) + (100/100) + (100/120) + (100/130) + (100/80) + (100/100)+ (100/120) + (100/60) soit 1459 / 156. La vitesse est égale au rapport de 800 à ce nombre soit à 85,54 km/h. Pour B, nous trouvons 83,6 km/h. A est donc plus rapide que B, le contraire de ce qu'on obtient en utilisant la moyenne arithmétique.