Blanche Neige et les 7 nains

« Joyeux » partage alors uniformément son lait entre les six autres sans en garder pour lui. En parcourant la table dans le sens des aiguilles d'une montre, chaque nain fait ensuite de même. Quand le septième a partagé son lait, le contenu des verresverres est le même qu'au départ. 

Question : 

Quelles étaient les quantités initiales de lait dans les verres ?

Réponse :

En litres, dans le sens des aiguilles d'une montre en partant de Joyeux : 6/7, 5/7, 4/7, 3/7, 2/7, 1/7 et 0. Cette solution convient car, si les nains disposent de cette quantité au départ, quand Joyeux distribue son lait, les quantités deviennent 0, 6/7, 5/7, 4/7, 3/7, 2/7, et 1/7. Autrement dit, elles sont décalées d'un cran. Les sept décalages nous ramènent à la position initiale. Il est plus difficile de montrer qu'il s'agit de la seule. Pour cela, pour chaque nain, on considère le moment où il doit partager son lait.

On obtient sept nombres x1 à x7 dans l'ordre. Supposons que l'un de ces nombres, x1 par exemple, soit plus grand que les autres. Comme il a récupéré le sixième de chacun des autres au moment du partage, x1 est supérieur à la moyenne des nombres x2 à x7. Comme cette moyenne est inférieure à x1 par définition de x1, on en déduit que les nains partagent toujours la même quantité x de lait. À partir de là, on montre que les quantités de lait au départ sont x, 5x/6, 4x/6, 3x/6, 2x/6, x/6 et 0. Comme la quantité est égale à 3 litres, on en déduit le résultat.