Quelques outils des mathématiques experimentales

Je vais vous entretenir de Mathématiques expérimentales c'est à dire, selon Bailey et Borwein : de "l'utilisation de techniques de calcul avancées pour explorer les structures mathématiques, tester des conjectures et suggérer des généralisations".

Un de leurs résultats (avec S. Plouffe) est la formule suivante : PiPi= suminf(k=0, 1/16^k (4/(8k+1)-2/(8k+4)-1/(8k+5)-1/(8k+6))) trouvée grâce à l'algorithme PSLQ et qui permet d'obtenir le 10^12 i-ème chiffres hexadécimalhexadécimal de Pi sans calculer les précédents (ce que personne ne pensait possible!). Pour bien commencer il nous faut un outil, nous allons essentiellement utiliser l'excellent pari/gp qui a été developpé à Bordeaux et qu'on peut télécharger ici : http://www.gn-50uma.de/ftp/pari/00index.html (avec les sources en C). La vocation essentielle de ce logiciellogiciel étant la théorie des nombres il nous faudra occasionnellement le compléter par d'autres (pour des intégrales numériquesnumériques et symboliques complexes etc.. voir en annexe et notez bien qu'après tout nous souhaitons utiliser TOUS les moyens de calcul possibles!).

Les mathématiques expérimentales étant essentiellement concrètes intéressons nous à un problème de mathématiques pures réel :

Soit (avec la syntaxe de gp) la fonction : > phi(k,n)= sum(j=1,n, ifif(gcd(j,n)==1, j^k) )

C'est à dire qu'on définit une fonction dont le résultat est donné par la somme des k-ièmes puissances des nombres premiers avec n et inférieurs ou égaux à n.

Lorsque k=0 on se contente de compter les nombres premiers avec n et inférieurs à n et on retrouve la "fonction totient d'Euler".

A présent définissons la somme pour n de 1 à l'infini suivante : > f(k,s)= sumpos(n=1, phi(k,n)/n^s) * zeta(s) (sumpos() est une version plus rapide de suminf()) Et posons le problème :

Peut-on trouver une formule simple résumant cette somme infinie (de sommes finies!) pour tout entier k positif et tout réel s (assez grand pour que f soit définie) ?

Bien sûr on pourrait procéder de manière formelle ou chercher dans la littérature mais nous souhaitons trouver la solution par une méthode "marteau-pilon" donc calculons quelques valeurs. Fixons k=0 et essayons f(0,1).. Hm.. cela semble durer un temps infini!... Evidemment!! Puisque dans le meilleur des cas on a une somme en 1/n.

Bien, essayons f(0,10) soit 1.002008392826019221816214807
Un petit tour au 'Reverse Engineering Calculator'
http://psg.cecm.sfu.ca/projects/revenge/client/RevEngClient.html
et... c'est l'échec et pourtant...
en utilisant le browserbrowser de l'ISC (Inverse Symbolic Calculator : http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ISCmain.html)
on voit qu'on est curieusement proche de zeta(9) Mais est-ce que le nombre fourni était correct? Essayons donc > f(k,s)= suminf(n=1, phi(k,n)/n^s) * zeta(s) qui rend : (après un temps six fois plus long) 1.002008392826082214417852668 qui est cette fois bien considéré comme zeta(9) et dont seules les trois dernières décimales sont fausses... Donc une première leçon importante : la technique n'est pas fiable et il vaut mieux essayer de plusieurs manières différentes pour voir si les nombres sont les mêmes! En fait une technique 'expérimentalement fiable'(:)) est de demander davantage de précision et de ne se fier qu'à la partie du résultat qui ne change pas (ceci est vrai tout particulièrement pour l'étonnante et magique fonction sumalt() de pari!) . Donc f(0,10)= zeta(9) .

Il est facile de deviner et de vérifier qu'en général (si s>2), f(0,s)= zeta(s-1) (ce qui était bien connu et... en réalité fourni dans le problème mais la pédagogie est Reine!)

Bien, à présent attaquons k= 1 Quelques essais à 'RevEng' nous apprennent que ce n'est pas la bonne méthode donc continuons de deviner.. D'abord notons (avec le soupçon tacite que la multiplication par zeta(s) ne fasse que compliquer la formule) > g(k,s)= sumpos(n=1, phi(k,n)/n^s) alors g(0,s)= zeta(s-1)/zeta(s) dont nous partirons. On a zeta(s)*g(0,s)-zeta(s-1) = 0 Peut-être qu'il y a aussi une dépendance linéaire entre : zeta(s-1)*g(1,s), zeta(s)*g(1,s), zeta(s+1)*g(1,s), zeta(s-1), zeta(s), zeta(s+1) c.a.d. qu'il existe des entiers a1, a2,..,a6 tels que :

a1*zeta(s-1)*g(1,s)+a2*zeta(s)*g(1,s)+a3*zeta(s+1)*g(1,s)+ a4*zeta(s-1)+a5*zeta(s)+a6*zeta(s+1) = 0

(Un site est dédié à la détection de ce type de relations : 'IntegerRelations' du CECM http://www.cecm.sfu.ca/projects/IntegerRelations/ et deux excellents algorithmes existent : LLL et PSLQ) Heureusement LLL est implémenté dans pari via la fonction lindep() Cherchons une relation pour k=1 et s=20 : > p 50 //lindep a besoin de précision > a= g(1,20) //pour éviter de le recalculer plusieurs fois > lindep([zeta(19)*a, zeta(20)*a, zeta(21)*a, zeta(19), zeta(20), zeta(21)], 45) ( il est indiqué de prendre le dernier terme = precision-10% ) On obtient de nombreuses grandes valeurs qui changent avec la précision utilisée (ce qui signifie que lindep a echoué!!). Remplaçons le dernier terme zeta(21) par zeta(18) et... BINGO !! [-2, 0, 0, 1, 0, 1] c'est à dire que : -2*zeta(19)*g(1,20)+zeta(19)+zeta(18)=0 On peut conjecturer : g(1,s)= [zeta(s-1)+zeta(s-2)]/(2*zeta(s-1)) qui semble correct pour toutes les valeurs de s>3 qu'on peut tester A présent explorons notre filonfilon grâce a lindep : > a= g(2,20) > lindep([zeta(18)*a, zeta(17), zeta(18), zeta(19), zeta(20)], 45) rend [-6, 2, 3, 1, 0] D'où la conjecture : g(2,s)= [zeta(s-1)+3*zeta(s-2)+2*zeta(s-3)]/(6*zeta(s-2)) On peut continuer ainsi (en augmentant la précision au fur et à mesure que k croît) pour obtenir tout un tableau de valeurs :