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Les axiomes de grands cardinaux sont des affirmations portant sur des ensembles monstrueusement grands. Délicats à définir, ils procèdent de principes analogues à celui qui consiste à affirmer que non seulement ℕ, P(ℕ), P(P(ℕ)), etc. sont des infinis actuels légitimes, mais qu'il y en a de plus grands encore, dont certains qui contiennent à la fois ℕ, P(ℕ), P(P(ℕ)), etc.
Les axiomes de grands cardinaux. © Sergey Nivens, Fotolia
Les axiomes de grands cardinaux sont vis-à-vis de la théorie Zermelo-Fraenkel comme l'est l'hypothèse du continu : on peut choisir, sans risquer d'introduire de contradiction, de les ajouter ou d'ajouter leur négation (en fait, les ajouter pourrait, en théorie, introduire une contradiction, mais personne en pratique n'en trouve jamais). Toutefois, contrairement à ce qui se passe pour l'hypothèse du continu, il est naturel de les tenir pour vrais. En effet, adopter leur négation serait limiter la taille des ensembles possibles, ce qui n'est pas naturel. De plus, cette même négation contredit un principe d'ouverture et de tolérance qui suggère d'accepter tous les objets qui n'introduisent pas d'incohérence. On dit que les axiomes des grands cardinaux sont vrais à priori. Une autre raison conduit à accepter les axiomes des grands cardinaux. D'une façon qui a étonné les mathématiciensmathématiciens, ces axiomes de grands cardinaux se classent linéairement les uns par rapport aux autres comme s'ils désignaient véritablement une hiérarchie d'infinis (au-delà de celle mise en lumière par Cantor et la complétant). S'ils n'étaient qu'un jeu formel et gratuit de logiciens, rien n'expliquerait qu'ils s'ordonnent ainsi les uns relativement aux autres. Pour les logiciens Kanamori et Magidor, « cet aspect hiérarchique de la théorie des grands cardinaux est quelque peu mystérieux, mais c'est aussi un argument fort en faveur de l'adoption des axiomes de grands cardinaux et du fait qu'ils fournissent les extensions naturelles de Zermelo-Fraenkel ».
Le logicien Menachem Magidor pense que les axiomes de grands cardinaux fournissent les extensions naturelles de Zermelo-Fraenkel. © Stotr, cc by sa 3.0
La possibilité de trouver des liens entre les axiomes de grands cardinaux et l'hypothèse du continu est réelle, et des résultats partiels ont déjà été obtenus : certaines parties infinies de ℝ dont on ne sait pas montrer dans Zermelo-Fraenkel qu'elles peuvent être mises en bijection avec ℕ ou ℝ, peuvent être mises en bijection avec ℕ ou ℝ grâce aux axiomes de grands cardinaux.
La théorie que Cantor a créée semblerait donc tenir debout et, mieux que cela, progresser par ajouts de nouveaux axiomes naturels. L'infini actuel n'est ni paradoxal ni logiquement insatisfaisant (comme l'indécidabilité de l'hypothèse du continu nous a conduit à le craindre un moment), mais au contraire cohérent et vraisemblable. Comme en physiquephysique, où notre conception du temps et de l'espace a dû être revue à la lumière de la théorie de la relativité (laquelle, en dépit des premières apparences, n'est nullement paradoxale), en mathématiques la conception de l'infini actuel force à reconstruire notre idée des objets et à revoir notre conception de la réalité mathématique. À celui qui accepte cette réforme profonde des conceptions, on ne peut opposer aucun paradoxe. On peut même penser que les situations logiquement insatisfaisantes qu'on croit encore percevoir se dissiperont à mesure que notre esprit acceptera pleinement le nouvel universunivers conceptuel proposé par ces mathématiques de l'infini actuel, qu'aujourd'hui encore les mathématiciens affinent et perfectionnent.
