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Plus tard, la théorie des ensembles formalisée, deux résultats importants furent démontrés concernant l'hypothèse du continu.
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En 1938, le mathématicienmathématicien autrichien Kurt GödelKurt Gödel prouva que, si la théorie habituelle des ensembles est consistante (ne conduit pas à une contradiction), alors la même théorie complétée par l'axiome qui affirme que l'hypothèse du continu est vraie ne conduit pas plus à une contradiction. Admettre l'hypothèse du continu n'est donc pas susceptible de faire s'effondrer la théorie usuelle des ensembles. En 1963, Paul Cohen ira plus loin : si la théorie des ensembles est consistante, alors la même théorie complétée en ajoutant l'affirmation que l'hypothèse du continu est fausse est, elle aussi, sans contradiction.
Ces deux résultats regroupés permettent de dire que celui qui admet la théorie usuelle des ensembles peut, sans risque supplémentaire de contradiction, prendre l'hypothèse du continu ou prendre sa négation. La théorie des ensembles laisse le choix aux mathématiciens de considérer l'hypothèse du continu comme vraie ou comme fausse.
Cette indécidabilité de l'hypothèse du continu n'est pas un paradoxe : la théorie ne se contredit pas, au contraire, elle ne dit rien. Toutefois cette « sous-détermination » est logiquement très insatisfaisante et profondément troublante.
Kurt Gödel, ici en 1925. Il prouva que si la théorie habituelle des ensembles est consistante, alors la même théorie complétée par l’axiome qui affirme que l’hypothèse du continu est vraie ne conduit pas plus à une contradiction. © DP
En effet, considérons le monde des nombres entiers : il n'est pas arbitraire, ce n'est pas nous qui décidons si un nombre est pair ou impair, premier ou composé, etc. Pourquoi donc le monde des nombres réels serait-il arbitraire, et nous permettrait de décider en fonction de nos goûts qu'il existe des parties infinies de ℝ impossibles à mettre en bijection avec ℕ ou ℝ, ou qu'au contraire il n'en existe pas ?
Comme le pensait Cantor lui-même, ainsi que Gödel, l'hypothèse du continu doit être vraie ou fausse, et la théorie des ensembles doit nous permettre de le savoir, à moins qu'elle ne soit qu'une illusion, ce qui signifierait que la compréhension qu'elle nous donne de l'infini actuel est factice. La situation créée par les résultats de Gödel et de Cohen sur l'hypothèse du continu est logiquement insatisfaisante, mais c'est toute la signification de la théorie de l'infini actuel proposée par Cantor qui est en cause, et, finalement, c'est l'idée même d'une théorie de l'infini actuel qui se joue.
