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La question des billards de Platon intrigue les mathématiciensmathématiciens depuis plus d'un siècle. Une solution complète a dû attendre près de cinquante ans, après qu'une résolutionrésolution a été proposée dans le cas d'un cube. Imaginez une boule de billard rebondissant à l'intérieur d'un cube. Dans le cadre de cette discussion théorique, nous ignorerons le frottement et la gravitation. Pouvons-nous trouver un chemin tel que la boule retourne à son point de départpoint de départ après avoir touché chaque face une fois ? Le problème a été posé pour la première fois par l'écrivain et mathématicien anglais Lewis Carroll (1832-1898).
La question des billards de Platon intrigue les mathématiciens. Ici, des boules de billard. © FikMik, Shutterstock
Le cube et le tétraèdre
En 1958, le mathématicien polonais Hugo Steinhaus (1887-1972) publia une solution qui montrait que de tels chemins existent pour les cubes et, en 1962, les mathématiciens John Conway et Roger Hayward découvrirent des chemins similaires à l'intérieur d'un tétraèdre régulier. Chaque tronçon du chemin d'une face à l'autre possède la même longueur pour le cube et le tétraèdre. En théorie, la boule rebondit à jamais le long du chemin. Cependant, personne n'était sûr qu'il existât de tels chemins pour d'autres solides de Platon.
Les mathématiciens ont découvert des trajectoires fermées d’une boule de billard rebondissant sur les faces de cinq solides de Platon. L’illustration ci-contre de Teja Krasek montre une telle trajectoire rebondissant sur toutes les faces dans le cas de l’icosaèdre. © Dunod, droits réservés
Hudelson et les 100.000 trajectoires aléatoires
Finalement, en 1997, le mathématicien américain Matthew Hudelson (né en 1962) montra d'étonnants chemins pour une boule de billard rebondissant à l'intérieur de solides de Platon -- l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Ces chemins de Hudelson établissent un contact avec chaque côté des faces intérieures et retournent finalement à leurs points de départ et à leurs directions initiales. Hudelson se servit d'un ordinateurordinateur lors de ses recherches. Son défi était particulièrement difficile, au vu du grand nombre de possibilités à envisager dans les cas du dodécaèdre et de l'icosaèdre. Hudelson écrivit un programme qui généra plus de 100.000 trajectoires initiales aléatoires et étudia celles qui touchaient les 12 faces du dodécaèdre et les 20 faces de l'icosaèdre.
