Qu'est-ce que la gravitation quantique à boucles ?

La gravitation quantique à boucles est une tentative de conciliation simple de la relativité générale et de la physique quantique entendant ne pas faire appel à des hypothèses révolutionnaires. Apparaît alors un espace-temps granulairegranulaire.

L'idée de la gravitation quantique à boucles est de tenter de concilier la physique d'EinsteinEinstein avec la physique quantique sans recourir à des postulats lourds comme l'existence de dimensions supplémentaires (ce que suppose par exemple la théorie des cordesthéorie des cordes). Carlo Rovelli (centre de Physique théorique de Marseille) et Lee Smolin (Institut Périmètre, au Canada) sont les deux pionniers de cette théorie.

Carlo Rovelli est un des pionniers de la gravitation quantique à boucles. © Temugin, CC by-nc 2.5

Pour procéder à la quantificationquantification du système, c'est-à-dire de l'espace-temps (ou de la gravitation, c'est la même chose), il faut identifier des variables dites « conjuguées ». Dans le cas qui nous intéresse, l'une des variables évidentes est la métrique spatiale, qui encode l'information sur la géométrie des feuilles d'espace. La variable conjuguée est alors ce qu'on nomme « la courbure extrinsèque » et qui correspond à la dérivée de la métrique spatiale quand on passe d'une couche à une autre.

Une fois ces variables de base identifiées, il faut s'assurer qu'elles ne sont pas arbitraires mais qu'elles sont bien solutions des équationséquations d'Einstein. Cela se traduit par deux contraintes :

• la contrainte dite « de difféomorphisme », qui assure la covariance de la feuille spatiale ;
• la contrainte hamiltonienne, qui génère l'évolution et assure la covariance globale en dépit de la séparationséparation arbitraire qui a été faite entre temps et espace.

La structure de la théorie est encodée dans ce qu'on nomme alors « des crochets de Poissoncrochets de Poisson ». La procédure usuelle de quantification consiste à remplacer ces crochets par des commutateurscommutateurs.

Représentation imagée de la structure de l’espace en gravitation quantique à boucles. © Carlo Rovelli, DR

Variables de Ashtekar et holonomie

Si l'on procède ainsi, sans autre précaution particulière, on obtient essentiellement la théorie de Wheeler-DeWitt. C'est une approche élégante et fort respectable de la gravitation quantique. Mais elle s'est avérée assez peu intéressante dans la mesure où aucune prédiction claire n'a pu être menée dans ce cadre. De plus, en cosmologiecosmologie, elle ne résout pas génériquement le problème des singularités. C'est à ce stade qu'il est intéressant d'introduire de nouvelles variables, dites « variables de Ashtekar ». L'intérêt de ce changement de variable vient de ce que la relativité générale peut alors être écrite sous une forme qui est analogue à celle d'une théorie de jaugethéorie de jauge. Or, les théories de jauge sont celles utilisées en physique des particules et leur quantification est bien connue et maîtrisée.

Cependant, dans toute théorie des champs, il faut s'affranchir des fonctions de Dirac (infinies en un point) par une sorte de « moyennage » du champ. On peut, par exemple, intégrer sur un petit volumevolume d'espace. Mais ceci n'est pas faisable dans cette approche car l'idée même de la gravitation quantique à boucles se fonde sur la non-introduction d'une métrique de fond - c'est-à-dire de structure géométrique. En effet, le guide fondamental de la constructionconstruction consiste à conserver la symétrie essentielle de la relativité générale : l'invariance de fond. Il ne s'agit pas de faire une théorie dans l'espace mais de l'espace. Si une métrique était introduite dans la construction, cela supposerait implicitement l'existence de l'espace. Or, celui-ci doit au contraire émerger. Mais il existe un moyen : utiliser ce qu'on nomme « l'holonomie ». L'holonomie est essentiellement la circulation sur une boucle (d'où le nom de la théorie). Pour la variable conjuguée, il faut prendre le flux à travers cette holonomie. Ces deux grandeurs : holonomie (des connections d'Ashtekar) et flux (des densités de triades) forment les variables de base de la gravitation quantique à boucles.

L'approche des réseaux de spin

De façon remarquable, la théorie a aussi pu être établie suivant une approche différente qu'on nomme celles « des réseaux de spinspin ». Dans ce cas, l'espace est représenté par une sorte de réseau dont les liens portent des nombres quantiquesnombres quantiques associés à l'aire des faces géométriques duales aux liens du réseau et dont les points d'intersection des liens constituent des sortes d'atomesatomes d'espace. Cette vision, dite « covariante », permet d'exprimer la gravitation quantique à boucles de façon plus explicitement liée au formalisme des intégrales de chemin de Feynman en physique quantique et au calcul de Regge en relativité générale.

La théorie est mathématiquement bien définie. Ses succès sont nombreux mais elle demeure spéculative : aucune prédiction expérimentale claire et vérifiée par la suite n'est à mettre à son crédit pour le moment. Et, comme dans toutes les approches de gravitation quantique, un certain nombre de problèmes importants restent à résoudre. En particulier, la limite continue n'est pas encore parfaitement établie. La gravitation quantique à boucles demeure à mon sens l'un des chemins les plus prometteurs.