Mécanique ondulatoire : qu'est-ce que c'est ?

La mécanique ondulatoire prend racine dans les travaux de Louis de Broglie mais c'est au physicienphysicien Erwin Schrödinger que l'on doit sa véritable découverte. Il s'agit initialement d'une formulation restreinte des principes et équations de la mécanique quantique exposée dans plusieurs mémoires par Schrödinger au cours de l'année 1926 et attribuant aux particules de matière un aspect ondulatoire. Comme l'a tout de suite montré Schrödinger lui-même, cette formulation s'est trouvée être équivalente à une autre version restreinte des principes et équations de la mécanique quantique, la mécanique matricielle. Cette dernière, initialement découverte par Werner HeisenbergWerner Heisenberg en 1925, a été développée rapidement par Max BornMax Born et Pascual Jordan qui furent les premiers à comprendre que les équations découvertes par Heisenberg pour expliquer le comportement des électrons dans l'atome de Bohr faisaient en fait intervenir la théorie des matrices.

Une dualité onde-particule universelle

Louis de BroglieLouis de Broglie cherchait initialement à comprendre la curieuse dualité onde-particule découverte par EinsteinEinstein dans le cas des quanta de lumièrelumière, les photons, ainsi que les mystérieuses conditions quantiques faisant intervenir des nombres entiers dans la théorie de l'atome de Bohr, plus généralement dans la quantificationquantification des énergiesénergies possibles des systèmes atomiques et moléculaires. Comme il l'a exposé dans sa thèse en 1923, de Broglie a trouvé la clé de l'énigme de ces étranges conditions en proposant que les électrons aussi aient un aspect ondulatoire. Ces nombres quantiques devenaient une manifestation de conditions bien connues décrivant des ondes stationnaires, par exemple sur une corde vibrante ou dans le cas de la résonnance du son dans une cavité.

De même que la propagation de la lumière peut parfois se décrire, bien qu'elle soit une onde, avec le modèle des rayons lumineux, les trajectoires observées des électrons dans un tube de Crookestube de Crookes devaient en fait être une manifestation d'une dynamique ondulatoire fondamentale. Plus généralement, il devait exister de véritables ondes de matière se déplaçant dans l'espace-tempsespace-temps associées aux électrons et protonsprotons, les particules de matière élémentaires de l'époque.

Louis de Broglie avait fait des études d'histoire avant de se tourner vers la physique. Toutefois, son frère aîné l'avait initié aux problèmes de la physique quantique dès son adolescence. © Wikipédia, domaine public

C'est Erwin SchrödingerErwin Schrödinger, informé des travaux de de Broglie grâce à un article d'Einstein qui attirait l'attention des physiciens sur les idées du chercheur français, qui eut l'idée de faire le lien avec le fait que l'action S d'un système mécanique, et pas seulement celle d'un électron dans un potentiel, vérifie l'équation de Hamiltonéquation de Hamilton-Jacobi.

Le message ancien de la mécanique analytique d'Hamilton et Jacobi

Comme Hamilton et plus tard Félix Klein l'avaient noté au XIX^e siècle, on doit considérer qu'une sorte d'onde scalaire se déplace dans l'espace de configurationespace de configuration d'un système mécanique ayant des variables canoniques conjuguées Pi et Qi.

S détermine une surface équiphase analogue à celle d'une onde scalaire dans l'espace physiquephysique. Les familles de trajectoires que peut emprunter un système mécanique sont alors l'analogue des rayons lumineux normaux à cette surface équiphase mais ici dans l'espace de configuration. Schrödinger reprit donc les idées introduites par de Broglie pour les transposer dans le cadre de la mécanique analytique d'Hamilton mais en introduisant de nombreux glissements conceptuels dont lui-même ne fut parfois pas initialement conscient.

Il y a d'abord le fait que l'onde ne se déplace plus dans l'espace-temps mais dans un espace polydimensionnel à 3N et même 6N dimensions d'une certaine façon. Ces 6N dimensions correspondent aux coordonnées généralisées et canoniquement conjuguées du système mécanique considéré. Ce qui veut dire qu'elles ne sont pas forcément des variables positions et impulsions d'un ensemble de points matériels. Un corollaire de ce dernier point est que l'on s'éloigne d'une connexion simple entre mouvementmouvement d'un point matériel et trajectoire d'un rayon lumineux, pour se diriger vers un ensemble de lois différentielles et intégrales pour des grandeurs physiques dont la forme est analogue à celle gouvernant un système de particules dans l'espace et le temps.

Schrödinger devina alors la forme de l'équation gouvernant la propagation de cette onde dans l'espace de configuration en fonction du temps. Il s'agit de la fameuse équation de Schrödingeréquation de Schrödinger dépendante du temps de la mécanique ondulatoire. Elle fait intervenir de façon inéliminable la variable imaginaire i. Ce qui veut dire que ses solutions pourront être intrinsèquement des fonctions de la variable complexe. L'emploi des nombres complexes étant alors fondamental et pas une astuce de calcul.

Toutefois, toute la théorie ondulatoire classique, c'est-à-dire les phénomènes d'interférenceinterférence et de diffractionsdiffractions des ondes s'applique, en particulier le principe de Huygens-Fresnel. C'est un point très important pour comprendre d'une part la synthèse finale de la mécanique ondulatoire que Dirac, Von Neumann et Weyl vont faire à partir de 1927 et pour comprendre la formulation que Richard Feynman donnera avec sa fameuse intégrale de chemin de cette même mécanique quantique. Cette formulation est centrale pour la cosmologiecosmologie quantique de John Wheeler.

Richard Feynman jouant du bongo. © Tom Harvey

Schrödinger et les autres théoriciens de la mécanique quantique sont bien conscients de tout cela à la fin de l'année 1926. L'équation que Schrödinger vient de proposer de manière à redonner les équations et les idées de de Broglie pour une particule dans un potentiel, fournit clairement un processus général pour quantifier l'énergie de larges classes de systèmes mécaniques constitués par N particules. Une mécanique ondulatoire analytique peut donc être construite, remplaçant la mécanique analytique classique.

Les amplitudes de probabilités de Max Born

Toutefois, un certain nombre de problèmes se présentent tout de suite. Quelle est la nature physique exacte de ce scalaire de champ comme l'appelle Schrödinger ? Comment la théorie des électrons de Lorentz est-elle transformée par cet objet et quels liens apparaissent entre les particules chargées et le champ électromagnétiquechamp électromagnétique continu ?

Ne dispose-t-on pas là d'un moyen de résoudre complètement l'énigme de la dualité onde-particule aussi bien pour la lumière que la matière ? Pour Schrödinger, c'était bien le cas, et une nouvelle ère s'ouvrait où les électrons devaient être des paquetspaquets d'ondes de densité de charge. La discontinuité des grandeurs physiques n'étant qu'une apparence introduit par la théorie spectrale des équations de champs pour la fonction d'onde associée à un système mécanique. Il n'y avait fondamentalement que des ondes.

Les tenants de la mécanique matricielle vont faire voler en éclat cette belle idée. Par son caractère linéaire, l'équation de Schrödinger implique qu'un paquet d'ondes ne pourra pas rester localisé au cours du temps, il s'étalera, en contradiction avec les phénomènes observés, et comme le démontra Heisenberg.

Le prix Nobel de physique Max Born à l'origine de l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde de Schrödinger. © Wikipédia, domaine public

La solution va être trouvée par Max Born, inspiré par les remarques d'Einstein sur la possible existence d'un champ fantôme responsable des transitions atomiques dans l'atome de Bohr mais ne transportant pas d'énergie. Ces transitions (les fameuses probabilités de transitions introduites par Einstein avec les coefficients Amn et Bmn que l'on retrouve partout en théorie quantique de l'interaction atome-rayonnement et qui sont à l'origine du laserlaser) se faisant avec l'intervention du calcul des probabilités, en considérant le traitement de la diffusiondiffusion d'un faisceau de particules chargées, comme dans le cas des expériences de Rutherford, Born fut conduit à introduire l'idée que le carré de la fonction d'onde représentait la probabilité du système mécanique de se trouver dans un état donné, et donc un point, de l'espace de configuration. La fonction d'onde était donc une amplitude de probabilité.

Si l'on considère une fonction des variables canoniques Q, alors cette fonction elle-même devra avoir une valeur déterminée par des lois de probabilités. L'analyse de Fourier appliquée aux fonctions d'onde implique également aussitôt qu'il doit exister une fonction d'onde pour l'impulsion.

La mécanique ondulatoire devient alors une physique analytique, car l'équation de Hamilton Jacobi fait intervenir la fonction d'énergie d'un système. En effet, l'énergie est une grandeur universelle en physique, donc dès qu'un système physique peut se mettre sous forme hamiltonienne, il y aura une fonction d'onde pour ce système. Cela explique aussi pourquoi l'énergie doit être universellement quantifiée.