Équations de Lagrange : qu'est-ce que c'est ?

Les équations de Lagrange sont les équations fondamentales de la mécanique analytique. Il existe une autre formulation plus puissante de la mécanique analytique que l'on appelle la formulation Hamiltonienne, mais elle se trouve être reliée naturellement à la formulation Lagrangienne. Dans les deux cas, il s'agit de piliers de la physique théorique et les applications dans tous les domaines de la physique sont nombreuses.

En particulier, la formulation Lagrangienne est au coeur de la théorie quantique des champs relativistes, où elle est indispensable pour quantifier les théories de jauge de Yang-MillsYang-Mills. Elle permet aussi une formulation souple de la théorie des particules élémentaires et de la théorie des cordesthéorie des cordes.

A cet égard, la formulation Lagrangienne de la théorie quantique sous forme d'intégrale de chemin par Feynman est à ce jour l'outil le plus puissant. En particulier, elle permet de traiter de problèmes comme ceux de l'évaporation des trous noirstrous noirs et ceux concernant la cosmologiecosmologie quantique comme Stephen HawkingStephen Hawking et James Hartle l'ont montré.

Les équations de Lagrange ont en fait une origine multiple, car elles sont la synthèse de différents travaux, en particulier ceux de Descartes, d'Alembert et Euler.

La mécanique Newtoniennemécanique Newtonienne et le calcul infinitésimal de NewtonNewton et Leibnitz sont appliqués au XVIII siècle pour attaquer toutes sortes de problèmes de mécanique céleste et de mécanique des solidessolides. La prolifération des équations différentielles et des méthodes de résolutionsrésolutions particulières devenait inquiétante et les calculs de plus en plus longs et pénibles. Il manquait une vision générale et unificatrice.

D'Alembert avait montré que des problèmes de dynamique pouvaient se ramener à des problèmes de statique et Euler, en se basant sur les travaux des frères Bernoulli, avait introduit un calcul général pour déterminer des extrema, non pas de fonctions de nombres, mais de fonctions de fonctions, que l'on appellera par la suite des fonctionnelles. Deux exemples célèbres étant celui des isopérimètres et de la brachistochrone.

Dans le premier cas, on cherchait la surface maximale pour un périmètre donné (on peut prouver, par exemple, qu'à périmètre égal un carré détermine une plus grande surface qu'un rectangle) et dans le second cas, c'est la recherche de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant. C'est une cycloïde.

Lagrange chercha donc à faire pour la mécanique ce que Descartes avait fait pour la géométrie en créant la géométrie analytique. Il donna une formulation générale des équations de la mécanique qui, comme les équations de droite et de plan dans la géométrie de Descartes, unifiait nombre de problèmes de mécanique particuliers. Cela uniformisait aussi les méthodes de résolutions de ces problèmes et permettait de démontrer des théorèmesthéorèmes de mécanique de façon automatiquement valables pour de larges classes de systèmes mécaniques.

Au final, la mécanique était ramenée à de la géométrie analytique en liaison étroite avec le calcul différentiel et intégral. En outre, les équations de mouvementmouvement de n'importe quel système pouvaient se dériver d'un principe dit variationnel basé sur la détermination de l'extrema d'une fonctionnelle.

Un exemple simple pour comprendre plus concrètement la signification de ces équations suffira.

Considérons un ensemble de N particules, constituant  un gazgaz ou un ensemble de planètes autour du SoleilSoleil. Elles possèdent donc 3N coordonnées de position  et 3N coordonnées de vitessevitesse .  Le point désigne la dérivation totale de la coordonnée précédente par rapport au temps, c'est-à-dire  .

Ces coordonnées sont dites généralisées car on peut ne pas spécifier si l'on emploie des coordonnés cartésiennes, sphériques ou d'autres encore. Pour le moment on les supposera cartésiennes.

Lagrange a alors montré que toutes les équations différentielles de mouvement du second ordre par rapport au temps que l'on connaissait en mécanique pouvaient se mettre sous la forme :

                                               

où la fonction est dite de Lagrange ou encore le LagrangienLagrangien. Pour les particules précédentes dans un potentiel V elle s'écrit :

                            

Les massesmasses étant évidemment les mêmes pour une particule et ses trois coordonnées de positions. Le premier terme à droite dans l'équation représente une somme d'énergies cinétiquesénergies cinétiques.

Plus généralement, pour un N particules dans un système de coordonnées généralisées arbitraire on aura en notation matricielle : 

                         

La formulation Lagrangienne des équations est cependant invariante par changement de système de coordonnées  et c'est ce qui fait sa puissance car elle permet de ramener de larges classes d'équations différentielles exprimées en coordonnées cartésiennes, sphériques etc...à quelques cas fondamentaux que l'on sait résoudre. On a donc affaire à une puissante technique de changement de variables du calcul différentiel et intégrale.

En outre, elle permet de démontrer que des théorèmes de conservation comme ceux de l'énergie, de la quantité de mouvementquantité de mouvement etc... sont automatiquement valables pour ces larges classes d'équations différentielles puisque, en démontrant des lois de conservation dans un système de coordonnées donné, on est sûr qu'ils seront valables dans d'autres systèmes de coordonnées ou pour d'autres systèmes mécaniques qui se ramènent à des équations sous la forme de Lagrange.

La validité de lois de conservation comme celle de l'énergie ou de la quantité de mouvement, initialement établie pour des points matériels, sera alors tout aussi assurée pour le champ électromagnétiquechamp électromagnétique si l'on peut mettre les équations de Maxwelléquations de Maxwell sous la forme d'un Lagrangien. C'est bien le cas.

La situation est d'ailleurs très profonde et a des répercussions en mécanique quantiquemécanique quantique et en théorie quantique des champs par l'intermédiaire du théorème de Noether reliant l'invariance du Lagrangien par certaines transformations de symétries et l'établissement de lois de conservation.

Ainsi, si l'on écrit une équation différentielle avec des variables n'ayant pas de rapports directs avec les positions d'un système de particules, mais dérivant d'un Lagrangien pouvant avoir la forme de celui d'un système de particules invariantinvariant par translationtranslation dans le temps, alors on pourra définir une fonction  dite Hamiltonienne qui correspondra à une énergie et satisfera à une loi de conservation.

Il y a un point qu'il est très important de comprendre. les équations de Lagrange ont d'abord été obtenues pour un système de points matériels mais la généralité des équations obtenues en utilisant un système de coordonnées arbitraire fait que des équations différentielles d'évolutions de système physiques différents, comme des courants électriquescourants électriques dans des circuits oscillants ou des populations d'animaux dans un écosystèmeécosystème, pourront avoir la même forme que pour le cas d'un système mécanique de points. C'est pourquoi on parlera de système mécanique et plus généralement de système dynamique chaque fois (au moins mais pas exclusivement) qu'un système d'équations différentielles du second ordre par rapport au temps peut se mettre sous la forme Lagrangienne.

Pour finir, en se basant sur les travaux de Maupertuis, lequel se basait lui même sur une idée de Fermat, Lagrange et Hamilton montreront que les équations de Lagrange sont dérivables à partir de la condition que la fonction  définie par :

                      

soit un extremun pour toutes les variations ( en un sens précis) des coordonnées de positions et de vitesses d'un système mécanique possédant un Lagrangien, entre deux dates séparant des états de mouvement du système mécanique considéré.

Cette fonction est appelée l'action.

C'est elle qui permet de définir le fameux principe de moindre action et elle permet d'écrire les équations suivantes :

                         

                                       

La première est précisément l'équation de Hamilton-Jacobi et elle est reliée à l'intégration des équations de Hamiltonéquations de Hamilton précédentes.

C'est cette équation qui permettra à Schrödinger de développer sa mécanique ondulatoiremécanique ondulatoire à partir des idées de De Broglie et des remarques de Félix Klein (Pas l'Oscar de Kaluza-Klein).

Pour aller plus loin :

• Cours de magistère (Grenoble) de Jonathan Ferreira
• Cours de Cambridge de David Tong