Définition | Crochets de Poisson

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Les crochets de PoissonPoisson sont des expressions mathématiques introduites initialement dans le cadre de la mécanique analytique. Ils permettent de donner une formulation des équations de mouvement d'un système mécanique particulièrement apte à trouver des lois de conservations et surtout, on les retrouve de façon centrale en mécanique quantique avec les conditions de quantificationquantification canonique de Born, Jordan et Dirac.

Ils sont à l'origine des équations de Heisenberg et du rôle des commutateurscommutateurs en mécanique quantique.

Enfin, les crochets de Poisson sont étroitement liés à la théorie des groupes et des algèbres de Lie et se retrouvent donc partout en physique théorique et en géométrie différentielle.

Siméon Denis Poisson (21 juin 1781 - 25 avril 1840)

Pour les introduire considérons deux fonctions quelconques :

$F(q_i,p_i, t)$

$G(q_i,p_i, t)$

des coordonnées canoniques conjuguées d'un système mécanique sous forme Hamiltonienne. On rappelle que $q_i$ et $p_i$ peuvent s'interpréter comme les positions et impulsions de N points matériels.

Poisson a alors introduit la constructionconstruction suivante :

$[F , G]=\sum_{i=1}^{3N}\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}$

que l'on appelle crochet de Poisson.

On peut alors écrire des équations différentielles sous la forme :

$\frac{dF}{dt}=[F,H]+\frac{\partial F}{\partial t}$

où $H(q_i,p_i)$ est l'énergieénergie totale d'un système mécanique HamiltonienHamiltonien (on peut aussi introduire une dépendance temporelle de cette fonction Hamiltoniennne).

En particulier, si $F(q_i,p_i, t)$ vaut $q_{i}$ ou $p_{i}$ , on trouve les équations de Hamiltonéquations de Hamilton :

$\frac{dp_i}{dt}=[p_i,H]=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$ $\frac{dq_i}{dt}=[q_i,H]=\frac{\partial H}{\partial p_i}$

$\dot{p_{i}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$ $\dot{q_{i}}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}$

On va voir rapidement que ces équations coïncident bien avec les équations de mouvement d'une particule dans un potentiel scalaire statique V.

Soit H la fonction Hamiltonienne de cette particule

$H= \frac{p_x^2}{2m} +\frac{p_y^2}{2m} +\frac{p_z^2}{2m}+V(x,y,z)$

alors, par substitution dans les équations précédentes, on obtient bien :

                                   $\frac{dp_x}{dt}=[p_x,H]=-\frac{\partial H}{\partial x}$

                                 $\frac{dp_y}{dt}=[p_y,H]=-\frac{\partial H}{\partial y}$

                                 $\frac{dp_z}{dt}=[p_z,H]=-\frac{\partial H}{\partial z}$

Si $F(q_i,p_i)$ ne dépend donc plus implicitement du temps et que

$[F, H]=0$

alors, d'après les équations de Poisson, c'est que

$\frac{dF}{dt}=0$

La quantité $F(q_i,p_i)$ est donc constante dans le temps et c'est donc ainsi que l'on obtient des lois de conservations dans le formalisme Hamiltonien.

En particulier, c'est bien la conservation de l'énergie que l'on obtiendra en posant $F(q_i,p_i)$ égale à $H(q_i,p_i)$ .

Les équations et les crochets de Poisson sont à la base des équations fondamentales de la mécanique matricielle, les équations de Heisenberg.

A ce titre, ils jouent un rôle tout aussi important en théorie quantique des champs.

Les crochets de Poisson sont des invariantsinvariants canoniques, car ils ne changent pas de forme lors d'une transformation canonique. Ils possèdent la propriété remarquable suivante

$[q_{i},p_{j}]=\delta_{ij}$ ( $\delta_{ij}=1$ si $i=j$ et 0 dans le cas contraire)

Transposée sous forme de matrices, ou d'opérateurs, et faisant intervenir la constante de Planckconstante de Planck, cette relation est la clé de la quantification des systèmes mécaniques comme Born et Dirac l'ont montré.

En effet, cette relation deviendra sous forme d'opérateurs