Expérience de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou : qu'est-ce que c'est ?

L'expérience de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT) est la première expérimentation numériquenumérique en physique et en mathématique au temps des pionniers de la paléo-informatique, c'est-à-dire juste après la seconde guerre mondiale. Elle a conduit à la révolution des sciences des systèmes dynamiques non linéaires manifestant le chaos et exhibant des solitons.

Pour comprendre de quoi il s'agit, il est bon de connaître le contexte dans lequel cette expérience a été proposée et par qui. L'un des protagonistes de son histoire, et dont le nom est associé à cette expérience, était le grand mathématicienmathématicien Stanislaw Ulam. Toutefois, celui qui est vraiment à l'origine de la mini-révolution qui a commencé au début des années 1950 était le grand physicienphysicien Enrico FermiEnrico Fermi. De plus en plus intéressé par les premiers ordinateursordinateurs dont il entrevoit déjà le potentiel pour la physique au moment où il travaille sur la bombe à hydrogène et sur la physique des particules élémentaires, il se rend compte que ces machines pouvaient être l'une des clés de la prochaine révolution en physique.

Il suspectait alors que cette révolution allait se faire avec des équations non linéaires, peut-être donc avec une version non linéaire de l'équation de Schrödingeréquation de Schrödinger, mais surtout avec des équations des champs en physique des particules. Pourtant, comme dans les cas déjà connus, en particulier en mécanique des fluides avec les équations de Navier-Stokes, les calculs analytiques sont presque impossibles à réaliser en régime non linéaire. Il est donc difficile d'exploiter le contenu physique de ces équations, comme le montre par exemple le cas de la turbulenceturbulence ou des mélanges dans les fluides.

Heureusement, les ordinateurs n'ont pas toutes les limites de l'esprit humain. Ainsi, Fermi (tout comme Ulam et le mathématicien Von Neumann qu'il connaissait bien) savait que la puissance des simulations numériquessimulations numériques devrait permettre de contourner au moins partiellement les problèmes rencontrés.

Enrico Fermi dans son laboratoire. © DP

La flèche du temps et l'équipartition de l'énergie

Toutefois, Fermi avait une autre idée en tête, qui remontait à ses travaux en mécanique statistique à la fin des années 1920. Cette théorie repose sur certaines hypothèses, dont l'une est difficile à justifier : l'hypothèse ergodique. Avec les systèmes décrits par la mécanique statistique, on essaie de comprendre le fait que, souvent, ces systèmes tendent naturellement vers un équilibre, ce qui définit une flèche du temps, et qu'il se produit « une équipartition de l'énergieénergie ».

Pour faire simple, quand une goutte d'encre tombe dans un verre d'eau, ses moléculesmolécules vont se répartir jusqu'à occuper presque uniformément tout le récipient. Le système semble alors rester dans cette situation stable pour l'éternité en l'absence de perturbations extérieures. Si la goutte est plus chaude que l'eau, l'énergie thermiqueénergie thermique de la goutte va aussi se communiquer aux molécules d'eau ; les écarts de températures vont presque disparaître et, en moyenne, les molécules d'eau et d'encre vont avoir la même énergie à l'équilibre thermique.

Fermi veut mieux comprendre les implications de la mécanique statistique, en particulier quand elle est appliquée à des systèmes non linéaires pour prédire leur évolution sur le long terme et à quelle vitessevitesse ils approchent de l'équilibre thermique. En bon physicien, il propose, au cours de l'année 1953, d'étudier d'abord sur ordinateur un système non linéaire simple mais suffisamment général pour exhiber plusieurs des caractéristiques fondamentales de la physique des systèmes non linéaires.

Mary Tsingou découvre le problème de Fermi-Pasta-Ulam

L'ordinateur choisi est le Maniac I (pour Mathematical Analyzer, Numerical Integrator, and Computer or Mathematical Analyzer, Numerator, Integrator, and Computer, soit, en français, « Analyseur mathématique, intégrateur numérique et ordinateur »). La simulation en question doit reproduire le comportement de massesmasses formant une ligne et reliées entre elles par des ressorts dont l'allongement n'est pas linéairement proportionnel aux forces qui s'exercent sur eux. Techniquement, il s'agit précisément de couplages quadratiques faibles entre les masses.

Pour mettre au point cette simulation et écrire le programme, Fermi collabore avec Ulam et John Pasta, mais c'est Mary Tsingou qui va programmer le Maniac I et effectuer l'expérience numérique en 1954. Rebaptisée récemment « expérience de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou », pour ne plus laisser dans l'ombre cette pionnière, elle ne va pas donner le résultat auquel s'attendait Fermi. Voyons pourquoi.

L'expérience FPUT peut se voir comme l'étude d'une corde vibrante constituée à l'origine de 64 masses reliées par des ressorts non linéaires. Une corde vibrante, mais avec un comportement élastique linéaire, peut être le lieu de plusieurs ondes stationnaires, des oscillations bien régulières avec des nœudsnœuds et des ventres. Plusieurs de ces ondes, les « modes propres », sont possibles avec des énergies données. Un mouvementmouvement arbitraire d'une corde vibrante est une certaine composition de ces modes.

On trouve un comportement similaire sur la corde non linéaire de l'expérience FPUT. D'après la mécanique statistique, si elle est excitée dans un de ses modes propres, elle va se charger en énergie, laquelle devrait assez rapidement se répandre entre les autres modes, de manière à assurer une sorte de thermalisation, ou plus exactement d'équipartition de l'énergie comme dans le cas de la goutte d'encre chaude. Ce phénomène devrait précisément se produire parce qu'il existe des couplages non linéaires entre les masses.

Les solutions du problème de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

Ce n'est pas ce que Mary Tsingou a été la première à constater. L'énergie ne fait que se répartir dans certains modes propres et, assez rapidement, revient dans le mode initial avant de se rediffuser (voir la vidéo de l'expérience ci-dessus). Cette apparente violation paradoxale de ce qui est en fait un théorèmethéorème d'équipartition de l'énergie en mécanique statistique va préoccuper mathématiciens et physiciens : ils vont chercher à la comprendre durant les décennies suivantes. Il résultera, comme indiqué plus haut, la découverte de la théorie des solitons et celle du chaos dynamique.

Le problème de FPUT va être partiellement compris grâce aux travaux des mathématiciens Kolmogorov, Arnold et Moser, qui découvriront le théorème KAM. Surtout, il apparaîtra plus tard que, lorsque le couplage non linéaire devient fort et pas faible, ou quand une quantité d'énergie suffisamment grande est injectée dans l'état initial de la corde, la thermalisation s'opère effectivement rapidement. La thermalisation opère aussi quand le nombre de massesnombre de masses tend vers l'infini.

Cependant, il reste encore des zones d'ombre. Par exemple, que se passe-t-il dans les cas à deux dimensions, voire trois ? Comme c'est le cas avec des atomesatomes formant le réseau cristallinréseau cristallin d'un solidesolide et qui peuvent vibrer autour de leur position d'équilibre. Les recherches au sujet du problème de FPUT se poursuivent donc. Vous pouvez approfondir ce problème en consultant les documents suivants :

• Le problème FPUT et la naissance des mathématiques expérimentales ;

• L'article fondateur du problème FPUT ;

• Une introduction au problème FPUT ;

• Une présentation technique du problème de FPUT et sa postérité par Joseph Ford dans Physics Reports.