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En mathématiques, une conjecture est une proposition qui est émise sur la base d'observations, de motifs apparents, ou de résultats numériquesnumériques, mais qui n'a pas encore été prouvée de manière formelle. Les mathématiciensmathématiciens formulent des conjectures lorsqu'ils remarquent des régularités dans les données ou des schémas dans leurs recherches.
Une conjecture peut émerger de divers domaines mathématiques, allant de l'arithmétique à la géométrie en passant par l'algèbre. L'objectif est souvent de trouver une règle générale ou une propriété qui semble être vraie pour un ensemble donné de nombres, de figures géométriques, ou d'objets mathématiques.
Les conjectures jouent un rôle crucial dans la recherche mathématique en ouvrant la voie à de nouvelles idées et à des investigations approfondies. Les mathématiciens travaillent à élaborer des preuves pour confirmer ou réfuter ces conjectures. Si une preuve formelle est établie, la conjecture devient un théorème.
Les conjectures : de véritables défis mathématiques
Cependant, des conjectures peuvent résister à la preuve pendant de nombreuses années, voire indéfiniment. Par exemple, la conjecture de Goldbach, formulée par Christian Goldbach au XVIIIe siècle, reste non résolue malgré des efforts considérables pour prouver sa validité. Cette conjecture suggère que tout nombre pair supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers. Bien qu'elle ait été vérifiée pour de nombreux nombres, une preuve générale reste insaisissable jusqu'à présent.
D'autres conjectures attendent parfois des années, voire des siècles avant d'être prouvées. C'est par exemple le cas d'une des conjectures les plus célèbres : le dernier théorème de Fermat, formulé par Pierre de FermatPierre de Fermat au XVIIe siècle. La conjecture stipule que l'équation xn+yn=znxn+yn=zn n'a pas de solutions entières non nulles pour n>2n>2. Elle a finalement été prouvée en 1994 par le mathématicien britannique Andrew Wiles.
Enfin, certaines conjectures sont utilisées en mathématiques avant d'être finalement contredites. La conjecture de Borsuk-Ulam formulée par Karol Borsuk en 1933 affirmait ainsi qu'il était possible de diviser une sphère en n + 1 régions convexesconvexes, chacune contenant le centre de la sphère. En 1993, Matthias Kreck a prouvé que la conjecture était fausse pour n supérieur ou égal à 61.
Se méfier des mots qui dorment
S'il peut être tentant de parler indifféremment de conjecture, d'hypothèse, de théorie ou de postulat, attention ! En mathématiques, ces termes - bien que proches - ont pourtant des sens différents.
La conjecture est donc, on l'a dit, une proposition ou une affirmation qui est soupçonnée d'être vraie, mais qui n'a pas encore été démontrée formellement.
Une hypothèse est une proposition préliminaire ou une condition posée au début d'un raisonnement ou d'une démonstration. Les hypothèses sont souvent utilisées pour établir des conditions initiales dans un problème ou une preuve.
Le terme de "théorie" est utilisé pour décrire un ensemble organisé de principes, de concepts et de résultats qui forment un domaine spécifique de la discipline. Par exemple, la théorie des nombres, la théorie des ensembles, ou la théorie des graphes sont des domaines spécifiques de la mathématique qui regroupent des idées et des résultats liés.
Enfin, un postulat est une proposition qui est acceptée comme étant vraie sans démonstration. Les postulats sont des énoncés fondamentaux sur lesquels repose un système mathématique donné. Par exemple, les postulats d'EuclideEuclide sont des énoncés fondamentaux de la géométrie euclidienne.
