Modèle testable d'énergie noire (1/2) : la piste de Kaluza-Klein

La découverte de l'expansion accélérée de l'univers a été une surprise. Elle implique qu'il faut réintroduire dans les équations de la relativité générale la fameuse constante dont EinsteinEinstein s'était servi en 1917 pour construire son modèle cosmologique. À l'époque, Einstein cherchait surtout à résoudre divers problèmes liés au principe de Mach et à la détermination des solutions de ses équations. L'objectif n'était pas tellement, comme on le dit trop souvent, d'obtenir un modèle décrivant un univers statique, fini et éternel (bien que ces aspects de son modèle cosmologique n'étaient pas pour lui déplaire).

À la fin des années 1960, Yakov Zel'dovich interpréta la constante cosmologique d'Einstein comme un effet de l'énergie du vide quantique, c'est-à-dire l'état d'énergie minimale des champs quantiques avec leurs fluctuations incessantes causées par les inégalités d'Heisenberg. Malheureusement, comme l'avait déjà très bien compris Pauli avant lui, la valeur de l'énergie du vide devait être si fantastiquement élevée que l'univers aurait dû se recourber sur lui-même et avoir une taille bien inférieure à celle du Système solaireSystème solaire. C'est ce que l'on appelle la pire prédiction de la physique théorique.

La mystérieuse nature de la constante cosmologique

Toutefois, on pouvait arriver à annuler la valeur de l'énergie du vide en faisant des contorsions théoriques. Mais lorsque Saul Perlmutter et ses collègues se sont rendu compte que la valeur de la constante cosmologique d'Einstein n'était pas nulle, bien que très faible, les calculs menés pour expliquer cette faible valeur sont devenus encore plus problématiques.

Le grand physicien et cosmologiste biélorusse Yakov Zel'dovich avait pris très au sérieux la constante cosmologique d'Einstein. Pour lui, elle devait être une manifestation de l'énergie du vide quantique. © www.astronet.ru

Bien des théories sont apparues pour tenter d'expliquer la nature de l'énergie noireénergie noire accélérant l'expansion de l'univers via la constante d'Einstein. On en est même venu à penser que cette énergie pouvait varier dans le temps et l'espace, ce qu'en fait Einstein et Schrödinger savaient déjà. Pour tenter d'y voir plus clair, le prix Nobel de physiquephysique Martin Perl a proposé de tester certains de ces modèles d'énergie noire en laboratoire. Comme l'avait expliqué Saul Perlmutter, il y a aussi des projets comme le Large Synoptic Survey TelescopeLarge Synoptic Survey Telescope (LSST) et le satellite de l'Esa, EuclidEuclid, qui se proposent de faire la lumièrelumière sur la nature de l'énergie noire.

Énergie du vide et contraintes cosmologiques

Récemment, un groupe de chercheurs français composé d'Alain Blanchard (Irap), Arnaud Dupays (LCAR) et Brahim Lamine (LKB) a proposé un intéressant modèle de l'énergie noire basé sur une nouvelle façon d'aborder le calcul de la valeur de l'énergie du vide quantique en tenant compte des contraintes de la cosmologiecosmologie. Ce modèle repose aussi sur l'existence d'une dimension spatiale supplémentaire, du type de celle déjà introduite dans les fameuses théories de Kaluza-Klein, lourdement utilisées par la théorie des supercordesthéorie des supercordes.

Ce modèle fait des prédictions précises, notamment que l'énergie noire doit se comporter comme une vraie constante cosmologique, comme le pense, par exemple, Jean-Pierre Luminet. Une autre de ces prédictions devrait bientôt pouvoir être testée en laboratoire. Celle qui est la plus facilement vérifiable est tout simplement le fait que les trois physiciensphysiciens arrivent à retrouver la valeur de la constante cosmologique observée.

Équations de Kaluza-Klein et effet Casimir

Futura-Sciences a demandé à Alain Blanchard de nous en dire plus sur ce modèle d'énergie du vide quantique, qui fait de plus un lien avec l'effet Casimir. Mais avant de lui laisser la parole, un petit détour par les théories de Kaluza-Klein s'impose, pour mieux comprendre ce qu'elles sont.

Comprendre ce qu'Alain Blanchard, Arnaud Dupays et Brahim Lamine ont fait n'est pas aussi difficile qu'on pourrait le croire, même si cela nécessite un peu de travail. Cet article se propose donc de mener le lecteur à travers une petite « excursion en montagne ». Il y aura quelques équations, mais que personne ne s'effraie, il n'y aura pas besoin de maîtriser la physique ou les mathématiques qui tournent autour pour les comprendre, de même qu'il n'y a pas besoin de savoir peindre comme Michel-AngeAnge pour analyser et comprendre une de ses peintures. Elles ne seront là que pour faire passer des idées et donner un aperçu de l'univers des physiciens théoriciens.

On ne dissimulera pas quand même le fait que la consultation des dossiers de Futura-Sciences sur la relativité générale et la théorie des trous de ver pourrait bien être nécessaire pour certains. En outre, ces dossiers possèdent des liens permettant d'approfondir bien des points sur la relativité générale.

Une théorie purement géométrique des forces de la nature

Pour bien comprendre les problèmes auxquels les physiciens ont été confrontés, il faut remonter aux premières tentatives de théorie unitaire, celles d'Einstein et Kaluza-Klein. Dans le cadre de la théorie de Kaluza-Klein, en étendant le nombre de dimensions spatiales de l'espace, on arrive à donner une interprétation géométrique de toutes les forces, et pas seulement de la gravitationgravitation, à partir de la géométrie-topologie de l'espace-tempsespace-temps.

Theodor Kaluza (à gauche) et Oscar Klein. Kaluza a proposé sa théorie en 1919. Elle n'unifiait que les forces connues de l'époque, à savoir la gravitation et l'électromagnétisme. Klein est allé plus loin dans les années 1930 en complétant les idées de Kaluza et en utilisant les lois de la mécanique quantique. © Stanley Deser, Université de Göttingen

Si l'on considère les équations d'Einstein reliant la courbure de l'espace-temps à une distribution d'énergie et d'impulsion, elles s'écriront, dans le cas où la source du champ de gravitation est un champ électromagnétiquechamp électromagnétique, sous la forme suivante :

 

Le membre de gauche fait intervenir la géométrie de l'espace-temps. Il est construit à partir des dérivées spatiales et temporelles de la métrique de cet espace-temps.

Le membre de droite, lui, fait intervenir ce qu'on appelle le tenseurtenseur impulsion-énergie des sources du champ de gravitation. Ici, il s'agit d'un champ électromagnétique (em) pur. Dans le vide, les équations précédentes se réduiraient à l'équation donnée par l'annulation du tenseur de courbure contracté, dit tenseur de Ricci :

 

La magie de la théorie de Kaluza-Klein est qu'en écrivant cette dernière équation pour un espace-temps à cinq dimensions avec une dimension d'espace supplémentaire compactifiée sous forme de cercle, on retombe sur les équations du champ de gravitation en quatre dimensions couplées à un champ électromagnétique gouverné par les équations de Maxwelléquations de Maxwell ! On a donc les équations ci-dessous :

  

Le processus peut être généralisé, en ajoutant à notre espace-temps macroscopique à quatre dimensions des espaces géométriques microscopiques « internes » à n dimensions pour chaque point de cet espace. Ces dimensions supplémentaires doivent être compactifiées et de très petites tailles pour être compatibles avec le fait qu'on ne détecte pas ordinairement des dimensions spatiales de plus dans lesquelles les atomesatomes pourraient se déplacer.

Une clé pour l'unification : les symétries géométriques

Les symétries géométriques des dimensions supplémentaires donnent alors les types de groupes de jauge associés aux forces et aux particules. Ce sont des groupes de Lie, dont l'importance en physique et en mathématiques ne saurait être sous-estimée. On voit là une nouvelle illustration de l'importance des symétries et de la théorie des groupes en physique.

Ainsi, selon une dimension supplémentaire donnant un cercle, la conservation de l'impulsion d'une particule le long de cette dimension compacte découle de l'invariance par rotation des équations selon ce cercle. Il se trouve que cette loi de conservation en cinq dimensions se traduit par la loi de conservation de la charge électrique en quatre dimensions associée au groupe de Lie U(1) des équations de Maxwell.

Une surface enroulée et compactifiée sous forme d'un cylindre ressemble de loin à un objet à une dimension, une ligne. Le groupe de rotation déplaçant un point d'un cercle en un autre est le groupe de Lie U(1). © physicsweb

Si on avait une n-sphère, on en sortirait SU(2), SU(3) etc. Et donc, à chaque fois, la conservation des charges de QEDQED, QCD, et autres correspond juste à la conservation de l'impulsion en dimensions supplémentaires. Ces charges donnent aussi la valeur de la constante de couplage de ces interactions en liaison avec la géométrie et la taille des dimensions supplémentaires. Après ces prolégomènes, nous nous tournerons vers les explications d'Alain Blanchard dans l'interview qui suivra cet article.