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Les Grecs ont introduit des raisonnements abstraits sur les formes géométriques comme les droites, les polygones et les coniques. Ils ont aussi introduit la méthode axiomatique qui a permis à EuclideEuclide de systématiser et d'organiser rigoureusement les mathématiques sur le plan logique. Avant eux et ailleurs, existaient surtout des mathématiques algorithmiquesalgorithmiques opérant sur des nombres, rassemblés en « recettes de cuisine ». Les mathématiciensmathématiciens grecs ne séparaient pas pour autant la géométrie de l'arithmétique, de sorte que bien des calculs sur des nombres n'avaient de sens pour eux qu'en relation avec les propriétés des figures géométriques, et inversement. Toutefois, cela les avait conduits à des problèmes conceptuels.
Ils ignoraient par exemple l'existence des nombres négatifs, de sorte que certaines équations simples, dont ils sont les solutions, apparaissaient comme absurdes pour eux. Quel pouvait bien être le sens de tels nombres pour mesurer des longueurs, des surfaces, des volumes ou des angles ? Des siècles après Euclide, les mathématiciens surmontèrent ces obstacles et trouvèrent une façon géométrique d'interpréter les nombres négatifs, ainsi que l'étrange règle de calcul qui veut que le produit de deux nombres négatifs soit positif (voir par exemple le livre de Jean Dieudonné Pour l’honneur de l’esprit humain). Les Grecs étaient perplexes aussi, mais moins, devant la longueur de la diagonale d'un carré qui ne pouvait pas être interprétée comme le quotient de deux nombres entiers. Nous savons aujourd'hui que ce problème fait intervenir les nombres irrationnels.
René Descartes avec un Discours de la méthode abrégé, mis en scène par Roberto Rossellini en 1972 dans le film Blaise Pascal. Descartes a fondé avec Pierre de Fermat la méthode des coordonnées en géométrie, c'est-à-dire, finalement, la géométrie analytique et algébrique classique. © YouTube
La géométrie et l'algèbre de Descartes à Cayley
Bien qu'encore prisonnier, d'une certaine manière, de la conception grecque des relations entre l'arithmétique et la géométrie, René DescartesRené Descartes n'en révolutionnera pas moins le sujet en découvrant la géométrie analytique qui lui permit de traduire plus systématiquement des problèmes d'algèbre en problèmes géométriques, et inversement. À partir de lui, les points dans le plan et l'espace devenaient associés à des couples et des triplets de nombres, lesquels entraient dans des équations algébriques polynomiales décrivant des ensembles de droites, de plans et même de coniques (cercle et ellipse par exemple) ou de quadriques (sphère et ellipsoïde par exemple) pouvant se couper.
Au début du XIXe siècle, Gauss et Hamilton d'une part, Cayley d'autre part, allaient faire faire un nouveau bond à la géométrie, à l'arithmétique et à l'algèbre. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle avaient découvert, en étudiant la résolutionrésolution des équations du troisième degré, de nouveaux nombres si étranges, faisant intervenir des racines carrées de nombres négatifs, qu'ils avaient été appelés « imaginaires » puis, plus tard, nombres complexes. Gauss réussit, avec d'autres, à montrer qu'ils pouvaient s'interpréter comme des points du plan alors que les nombres réels étaient associés aux points d'une droite.
Hamilton chercha peu après lui s'il n'existait pas de nouveaux nombres qui seraient des points de l'espace. Cela le conduisit à découvrir les quaternions qui présentaient une propriété étonnante : leur produit n'était plus commutatif. Cette non-commutativité émergeait également des calculs développés par Arthur Cayley sur des tableaux de nombres que l'on pouvait associer à des systèmes d'équations de droites ou de plans, ainsi qu'à des coniques et des quadriques. Ces tableaux, appelés matrices, pouvaient s'additionner ou se multiplier comme des nouveaux nombres.
Le mathématicien britannique Arthur Cayley (1821-1895) est le premier à définir le produit des matrices en 1854. En 1850, le terme de matrix (qui sera traduit par matrice) avait été forgé (sur la racine latine mater) par son collègue et ami James Joseph Sylvester pour décrire des objets mathématiques implicitement contenus dans les travaux des mathématiciens passés. © DP
Tout au long du XIXe siècle et au début du XXe siècle, il devint de plus en plus clair qu'il existait plusieurs systèmes de nombres pouvant être manipulés dans des calculs et des équations à la manière des nombres réels mais qui en différaient par certains égards. Pour systématiser ces calculs, mieux comprendre et prévoir les origines des points communs ou différences entre les équations et les théorèmes y apparaissant et tenter de déterminer tous ceux qui étaient possibles, on en vint à dégager la notion abstraite d'algèbre et à classifier ces multiples variations et incarnations.
Parallèlement, il devint clair que ces nouveaux nombres et ces nouveaux calculs permettaient d'approfondir et d'étendre le programme de Descartes, de sorte que des progrès dans la compréhension des phénomènes géométriques pouvaient être reliés à des questions d'algèbres avec des nombres parfois qualifiés d'hypercomplexes, que ce soient des quaternions, des matrices ou d'autres encore découverts depuis.
Alain Connes est titulaire de la Chaire Analyse et Géométrie au Collège de France. Il esquisse dans cette vidéo la géométrie non commutative qui généralise la géométrie de Descartes. © Collège de France
De la mécanique quantique d'Heisenberg aux algèbres de Von Neumann
C'est en poursuivant l'élargissement de notre conception de la géométrie, de l'algèbre et de leur relation symbiotique que les mathématiciens ont fini par découvrir le concept de géométrie non commutative. Il a été vigoureusement développé par le Français Alain Connes pour y inclure une généralisation du calcul différentiel et intégral et ses applications à la géométrie et à la physiquephysique dont l'exemple le plus frappant est sans doute la théorie de la relativité générale d’Einstein.
Pour essayer de comprendre en quoi cette géométrie non-commutative a permis à Alain Connes et ses collègues de renouveler le programme d'EinsteinEinstein d'une théorie unitaire des forces fondamentales Futura s'est tourné vers le physicienphysicien mathématicien Pierre Martinetti. Il a bien voulu répondre à certaines de nos questions.
En poste à Université de Gênes, Pierre Martinetti explore les implications de la géométrie non commutative en physique fondamentale. © Pierre Martinetti
La géométrie non-commutative est particulièrement abstraite mais ne peut-on pas essayer de comprendre intuitivement de quoi il s'agit ?
Pierre Martinetti : On savait déjà du temps des Grecs que certaines opérations sur des nombres et les propriétés de certains nombres codaient des propriétés des figures géométriques. Additionner deux nombres entiers revient à mettre bout à bout deux segments dont les longueurs sont données par ces nombres. Les multiplier donne l'aire d'un parallélépipède et prendre des racines carrées ou cubiques de nombres fait apparaître d'autres nombres que les nombres entiers, les nombres irrationnels, que l'on peut relier à des diagonales de carrés et de cubes.
Plus tard, avec Descartes, on va associer des ensembles de nombres à des points de l'espace et calculer les valeurs de fonctions dépendant de ces nombres en ces points. On finira par la suite au XXe siècle par considérer que ces fonctions sont elles-mêmes des sortes de nombres que l'on peut additionner, multiplier comme les nombres réels et que ces algèbres de fonctions codent aussi des phénomènes géométriques.
En 1943, le grand mathématicien Israel Gelfand va notamment découvrir avec son collègue Mark Naimark un remarquable théorème à ce sujet. Il montre que l'on peut reconstruire certains objets géométriques et leurs propriétés (en l'occurrence des espaces topologiques) à partir d'algèbres de fonctions continues sur ces objets. Mais ces algèbres sont commutatives. C'est-à-dire que la multiplication de deux fonctions ne dépend pas de l'ordre dans lequel on les prend, tout comme 2 multiplié par 3 est égal à 3 multiplié par 2.
Une question naturelle qui se pose alors est : quel est l'objet que l'on peut reconstruire si on part d'une algèbre non commutative, par exemple une algèbre de matrices ? Cet objet s'appelle une géométrie non commutative. Cet objet ne peut pas être un espace au sens usuel, sinon l'algèbre qui lui est associée serait commutative. On découvre ainsi un nouveau type d'objet géométrique. Ce qui rend la théorie un peu désarçonnante au premier abord, c'est que le point de vue est l'inverse du point de vue classique : dans la géométrie apprise à l'école, on se donne un ensemble de points, et dans un deuxième temps on étudie les fonctions sur cet espace. En géométrie non commutative, on se donne d'abord les fonctions et on reconstruit l'espace ensuite. Les points de la géométrie ne sont en particulier plus le matériaumatériau de base mais le matériau dérivé de constructionsconstructions mathématiques abstraites.
Le physicien allemand Werner Heinsenberg (1901-1976) a révolutionné la physique en découvrant en 1925 la mécanique quantique matricielle. On le voit ici expliquer la théorie quantique en 1936. Heisenberg avait rejeté la notion de trajectoire pour les électrons circulant au sein d'un atome, jetant ainsi les bases d'une nouvelle conception de la géométrie de l'espace et du temps, et pas seulement d'une nouvelle physique de la matière et du rayonnement. © AIP Emilio Segre Visual Archives
Depuis Descartes et Newton, on a poursuivi un programme de géométrisation de la physique qui s’est montré particulièrement efficace. Il apparaît donc naturel de se demander si cette nouvelle géométrie peut avoir des applications en physique. Alain Connes est-il le premier à avoir exploré cette idée ?
Pierre Martinetti : C'est en fait l'inverse, la géométrie non commutative a émergé une première fois implicitement de la mécanique quantique et des travaux du mathématicien John Von Neumann et qui ont sans doute servi d'inspiration à Alain Connes.
Pour le comprendre, il faut se rappeler que la mécanique analytique classique décrit le mouvementmouvement de N points matériels, que ce soit des planètes ou des électronsélectrons autour de noyaux, à l'aide de 3N coordonnées de position Qi et 3N coordonnées d'impulsion Pi. Ces coordonnées permettent de construire un espace géométrique à 6N dimensions, appelé espace des phasesespace des phases, qui peut être courbe, comme l'est une sphère ou un tore, et dans lequel les équations de la mécanique permettent de décrire de façon très efficace les mouvements de ces points.
Heisenberg d'abord puis Born, Jordan et Pauli ont montré de 1925 à 1926 que la stabilité des atomesatomes et leurs raies spectralesraies spectrales s'expliquaient si on remplaçait ces coordonnées par des matrices dont les produits ne commutent pas forcément. Schrödinger a ensuite montré que ces matrices pouvaient être construites à partir de ce que l'on appelle des opérateurs, des objets qui émergentémergent des équations différentielles et aux dérivées partielles de la physique des ondes notamment, et dont là aussi le produit ne commute pas toujours. Von Neumann a posé au début des années 1930 les fondements mathématiques rigoureux de ces deux approches dans un célèbre ouvrage. Cela va le conduire à découvrir de nouvelles algèbres.
Rétrospectivement, on peut dire que la mécanique quantiquemécanique quantique résulte de l'existence d'une géométrie non commutative dans l'espace des phases. Alain Connes a développé cette géométrie en montrant comment peut y être défini l'équivalent du calcul différentiel et intégral classique utilisé pour décrire la géométrie des courbes et des surfaces. Il faut faire intervenir certaines algèbres non commutatives découvertes par Von Neumann et qui portent d'ailleurs son nom.
Un extrait du documentaire sur John von Neumann, mathématicien hongrois, devenu américain après-guerre, qui a laissé sa marque sur les armes nucléaires, la révolution numérique, la physique, les mathématique et tout simplement l'histoire et la politique du 20e siècle. © Philippe Calderon, Arte France, Bfc Productions
La mécanique quantique introduit des quantités discrètes pour des grandeurs qui étaient continues en physique classique. La géométrie non commutative serait-elle en relation avec des espaces géométriques, des ensembles de points, discrets ?
Pierre Martinetti : Une telle relation existe et en fait la géométrie non commutative donne un cadre englobant à la fois objets géométriques continus et discrets. Heisenberg a proposé dès les années 1930 que la mécanique quantique impliquait peut-être une structure discontinue de l'espace avec une longueur minimale. Celui-ci serait alors une sorte de cristal qui ne nous apparaîtrait continu qu'à grande échelle. Remarquablement, il se trouve d'ailleurs que le caractère non commutatif de certains produits des matrices des coordonnées Q et P dans l'espace des phases en mécanique quantique implique que celui-ci est composé d'éléments discrets reliés à la constante de Planckconstante de Planck.
Mais introduire directement une structure discrète pour l'espace nous confronte à la théorie de la relativité restreinterelativité restreinte, qui impose de considérer l'espace-tempsespace-temps. Si celui-ci était discret à la façon d'un cristal, cela entrerait en contradiction avec la théorie de la relativité. Ce serait une violation de l'invariance de Lorentz.
Toutefois, en 1947, le physicien Hartland Snyder, bien connu par ses travaux de pionnier sur la physique des trous noirstrous noirs avec Oppenheimer, a montré que le problème était surmontable en introduisant des coordonnées d'espace-temps décrites par des opérateurs satisfaisant à une algèbre non commutative et à une relation similaire à celles des coordonnées Q et P en mécanique quantique. Il pensait, de cette façon, introduire une longueur minimale pour l'espace-temps capable de résoudre les problèmes de divergences de certaines quantités physiques rencontrées en théorie quantique des champs, plus précisément à l'époque, en électrodynamique quantiqueélectrodynamique quantique.
Ces divergences sont reliées au fait que des énergiesénergies de plus en plus élevées sondent des distances de plus en plus courtes. Une distance minimale agit donc comme une coupure pour les valeurs hautes des énergies et permet, en principe, de régulariser les divergences. Mais ce programme n'a finalement pas abouti et, pour le moment, c'est une autre solution qui a été mise en pratique depuis les travaux de Feynman, Tomonaga et Schwinger pour résoudre, partiellement du moins, le problème des divergences en théorie quantique des champs.
