Conjecture de Poincaré : dernières pièces du puzzle d'un problème centenaire

La conjecture de Poincaré

A partir de 1894, le célèbre mathématicienmathématicien français Henri PoincaréHenri Poincaré publie six articles qui fondent la topologie algébrique : à toute surface déformable et sans frontière, il est possible d'associer un objet algébrique, appelé groupe fondamental. La sphère, qui baigne dans un espace à trois dimensions, est caractérisée par le fait que son groupe fondamental est le plus simple possible : en d'autres termes, si une surface fermée admet un groupe fondamental trivial, alors c'est une sphère (à déformations près).

En 1904, Poincaré pose la question de savoir si un espace fermé à trois dimensions dont le groupe fondamental est trivial peut être déformée en une 3-sphère (analogue de la sphère en quatre dimensions). Ce problème fut à l'origine de nombreuses fausses démonstrations (Poincaré lui-même en 1900, Whitehead en 1934) et sa difficulté lui valut d'être choisi par l'institut Clay comme l'un des sept problèmes du millénaire.

Un problème de classification

Au-delà de la conjecture de Poincaré, les mathématiciens se sont vite interrogés sur la possibilité de classifier tous les espaces à trois dimensions, comme celà avait été fait en deux dimensions : toute surface est en effet un quotient d'une des trois surfaces « élémentaires » que sont le plan, la sphère et le plan hyperbolique (appelé également demi-plan de Poincaré). A la fin des années 70, Thurston annonce la réduction des espaces à trois dimensions à huit espaces « élémentaires » : c'est la conjecture de géométrisation. Pour ses travaux sur six de ces huit cas, Thurston partage la médaille Fields en 1982.

Si beaucoup de progrès ont été faits quant à la partie « hyperbolique » de la conjecture, la partie « à courbure positive » est mal comprise. En particulier, Thurston formule la conjecture d'elliptisation, qui indique que tout espace fermé à trois dimensions dont le groupe fondamental est fini peut être déformé pour obtenir un quotient d'une 3-sphère par un groupe fini de rotations. La conjecture d'elliptisation est donc une généralisation de la conjecture de Poincaré (pour laquelle le groupe fondamental est supposé réduit à un unique élément).

Les travaux décisifs de Perelman

En 1982, Richard Hamilton introduit un outil essentiel pour comprendre la topologie des espaces à trois dimensions : le flot de Ricci. Très naïvement, la méthode consiste à munir d'une métrique riemanienne un espace à trois dimensions et à laisser agir le flot de Ricci pour tenter de récupérer une géométrie à courbure constante. Par exemple, si l'on part d'un espace fermé à trois dimensions dont le groupe fondamental est trivial et que l'on récupère un espace à courbure constante positive, on peut conclure que cette espace est la 3-sphère. Toutefois, le problème essentiel provient de singularités qui peuvent apparaître et faire « exploser » la géométrie. Néanmoins, en classant ces singularités on peut espérer découper l'espace en un nombre fini de morceaux à courbure constante.

En 2003, la pré-publication par Grisha Perelman de trois articles sur le sujet retentissent dans le monde mathématique : reprenant le programme de Hamilton, Perelman y exposent des idées complètement neuves pour résoudre complètement la conjecture de géométrisation et donc la conjecture de Poincaré. Ses travaux sont cependant très techniques et exigent un gros travail de relecture : si les choses semblent claires pour Perelman, la communauté mathématique doit relier entre elles différentes partie de la démonstration, la compléter en établissant des résultats intermédiaires, etc. C'est ce qu'aujourd'hui semble avoir achevé les professeurs chinois.