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Les axiomes sont des énoncés fondamentaux qui sont considérés comme évidents et qui ne nécessitent pas de démonstration. Ils servent de base solide à une théorie ou à un système de pensée. Le sens du terme « axiome » varie légèrement selon son domaine d'application. Avant d'entrer dans le détail, faisons un peu d'histoire.
Le terme « axiome » a une origine ancienne et est étroitement lié à l'histoire des mathématiques et de la philosophie. Il dérive du grec axiôma, « ce qui paraît juste, convenable ». Son utilisation remonte à l'Antiquité grecque.
Un peu d'histoire
Au IIIe siècle av. J.-C., Euclide, un mathématicienmathématicien grec s'attelle à ce qui sera son ouvrage le plus célèbre : Éléments. Il y énonce 23 définitions, 5 axiomes et 5 « communions » (ou notions communes). Les axiomes posent les bases de ce qui deviendra la géométrie euclidienne. Ils comprennent des énoncés tels que : « On peut tracer une ligne droite entre deux points » ou « Le tout est plus grand que la partie ». Ce faisant, EuclideEuclide introduit l'idée que des vérités évidentes par elles-mêmes, ou des propositions fondamentales, peuvent servir de base à la constructionconstruction de connaissances mathématiques.
Attardons-nous encore un peu à l'époque antique. Dans le domaine de la philosophie, ce sont des penseurs grecs comme Parménide et AristoteAristote qui contribuent à l'élaboration du concept d'axiome. Aristote a ainsi formulé le principe de non-contradiction, un axiome logique fondamental qui stipule qu'une proposition ne peut pas être vraie et fausse en même temps.
Par la suite, leurs travaux seront conservés et étudiés, permettant à l'axiome de traverser l'Histoire et les âges.
Au cours de la Renaissance, avec la redécouverte des textes antiques, des mathématiciens reprennent l'idée d'Euclide sur les axiomes. René DescartesRené Descartes soutient ainsi que la géométrie peut être basée sur des axiomes et des définitions claires. Néanmoins, les axiomes d'Euclide sont imparfaits et contiennent des lacunes et des ambiguïtés dans leur formulation, certains d'entre eux semblant dépendre implicitement d'autres axiomes.
C'est notamment le cas du cinquième axiome (postulat des parallèles) qui semble plus complexe et moins intuitif que les autres. Certains mathématiciens vont donc chercher à le démontrer à partir des autres postulats d'Euclide, dans le but de rendre la géométrie plus élégante. La découverte de ces failles dans le travail du penseur grec mènera, au cours du XIXe siècle, à deux avancées majeures dans l'histoire des mathématiques.
La première se fait grâce au mathématicien de génie David Hilbert, qui s'emploie à reconstruire les fondements de la géométrie de manière plus formelle et rigoureuse qu'Euclide. En 1899, il publie son livre « Les fondements de la géométrie », dans lequel il présente une liste réduite d'axiomes géométriques, visant à éliminer toute ambiguïté. Ces axiomes sont plus stricts et mieux formulés que ceux d'Euclide. Il élabore notamment une liste de problèmes mathématiques non résolus, dont certains d'ordre axiomatique : les fameux problèmes de Hilbert.
On doit la seconde avancée à plusieurs mathématiciens, dont Nikolai Lobachevsky, János Bolyai et Carl Friedrich Gauss. Ces derniers explorent des géométries dans lesquelles le cinquième postulat ne s'applique pas, jetant ainsi les bases de la géométrie dite « non-euclidienne ». Ce développement a un impact significatif sur la compréhension des fondements de la géométrie et contribue à élargir le champ des possibilités mathématiques.
L'axiome, star des mathématiques et de la philosophie
Aujourd'hui, les axiomes sont toujours utilisés en mathématiques et en philosophie.
En mathématiques, ce sont les énoncés de base qui définissent les propriétés et les relations fondamentales dans une théorie mathématique donnée. Ils établissent les « règles du jeu » et guident la déduction des théorèmes. Les axiomes ne sont généralement pas démontrés car ils sont considérés comme évidents ou auto-évidents. Ils sont choisis de manière à être cohérents entre eux et à ne pas conduire à des contradictions logiques. Dans la géométrie euclidienne classique, les cinq axiomes d'Euclide définissent les règles fondamentales pour construire des figures géométriques dans l'espace. Par exemple, un axiome d'Euclide stipule que deux points distincts déterminent une ligne droite unique.
Différentes branches des mathématiques ont leurs propres ensembles d'axiomes. Ainsi, les axiomes de Peano définissent les nombres naturels en arithmétique, et les axiomes de Zermelo-Fraenkel définissent la théorie des ensembles. Une fois que les axiomes sont énoncés, les mathématiciens utilisent la logique et les règles d'inférence pour déduire de nouveaux résultats, appelés théorèmes. Ces théorèmes étendent la compréhension de la structure mathématique. Au fil du temps, les axiomes peuvent être révisés ou étendus pour répondre à de nouvelles questions ou résoudre des problèmes non résolus.
En philosophie, les axiomes forment souvent la base logique à partir de laquelle d'autres idées ou conclusions peuvent être déduites. Cependant, l'utilisation du terme peut varier selon les contextes. En épistémologie - la branche de la philosophie qui traite de la connaissance -, les axiomes peuvent représenter des croyances de base que l'on considère comme indubitablement vraies, formant ainsi le fondement de la connaissance. En métaphysique, les axiomes peuvent aussi désigner des propositions fondamentales sur la nature de la réalité ou de l'existence. Par exemple, dans certaines philosophies, l'axiome de l'existence de soi peut être considéré comme une vérité évidente. Dans le domaine de l'éthique, les axiomes peuvent être des principes moraux fondamentaux qui servent de base à une théorie éthique particulière. Ainsi, l'axiome de l'utilitarisme pourrait être que le bien suprême est le plus grand bonheur pour le plus grand nombre. Enfin, en logique, les axiomes sont des propositions de base à partir desquelles des théories logiques sont construites. Ces axiomes peuvent définir les règles du raisonnement et de l'inférence.
