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On l'a beaucoup dit, le siècle qui vient de s'achever a été le véritable âge d'or des mathématiques : les mathématiques se sont davantage développées au cours du XXe siècle que pendant l'ensemble des siècles qui l'ont précédé. Il est probable, cependant, que le siècle qui s'ouvre sera tout aussi exceptionnel pour les mathématiques : un siècle au cours duquel elles se métamorphoseront autant, si ce n'est davantage, qu'au XXe siècle. L'un des signes qui nous invitent à le penser est une transformation progressive, depuis le début des années soixante-dix, de ce qui constitue le socle même de la méthode mathématique : la notion de démonstration. Et cette transformation remet sur le devant de la scène un concept mathématique ancien, mais quelque peu négligé : celui de calcul.
La notion de démonstration. © Geralt, Pixabay, DP
L'idée que le calcul puisse être la clé d'une révolution peut sembler paradoxale. Les algorithmes qui permettent, par exemple, d'effectuer des additions et des multiplications, sont souvent perçus comme une partie élémentaire du savoir mathématique, et effectuer ces calculs est souvent perçu comme une activité peu créative et ennuyeuse. Les mathématiciensmathématiciens ne sont eux-mêmes pas sans préjugés à l'égard du calcul, comme René Thom qui déclarait : « Une grande partie de mes affirmations relève de la pure spéculation ; on pourra sans doute les traiter de rêveries. J'accepte la qualification. [...] Au moment où tant de savants calculent de par le monde, n'est-il pas souhaitable que d'aucuns, s'ils le peuvent, rêvent ? » Tenter de faire rêver avec le calcul constitue sans doute un défi...
Ce préjugé à l'encontre du calcul se retrouve malheureusement jusque dans la définition même de la notion de démonstration mathématique. Depuis EuclideEuclide, on définit, en effet, une démonstration comme un raisonnement, construit à l'aide d'axiomes et de règles de déduction. Mais résoudre un problème mathématique demande-t-il uniquement de construire un raisonnement ?
La pratique des mathématiques ne nous a-t-elle pas plutôt appris que cela demande une subtile articulationarticulation d'étapes de raisonnement et d'étapes de calcul ? En se restreignant au raisonnement, la méthode axiomatique propose sans doute une vision restreinte des mathématiques. Et c'est précisément par la critique de cette méthode axiomatique trop restrictive que le calcul réapparaît dans les mathématiques. Plusieurs travaux, pas toujours connectés les uns aux autres, remettent progressivement en cause cette prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires. Cette révolution, qui nous amène à repenser les rapports entre le raisonnement et le calcul, nous amène également à repenser le dialogue entre les mathématiques et les sciences de la nature, telles la physique ou la biologie, en particulier la vieille question de la déraisonnable efficacité des mathématiques dans ces sciences, ainsi qu'une question plus récente relative à la forme logique des théories de la nature. Elle éclaire également d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques, qui semblent l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin - et c'est certainement le plus intéressant -, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de limites arbitraires que la technologie du passé a imposées à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.
Naturellement, cette crise de la méthode axiomatique n'est pas sortie de rien. Elle était annoncée, depuis la première moitié du XXe siècle, par des signes précurseurs, en particulier par le développement de deux théories qui, sans remettre en cause la méthode axiomatique, ont contribué à redonner une certaine place au calcul au sein de l'édifice mathématique : la théorie de la calculabilité et la théorie de la constructivité. Ce récit de la crise de la méthode axiomatique sera donc précédé d'une histoire de ces deux notions. Mais, auparavant, partons à la recherche des origines de cette notion de calcul, dans la lointaine Antiquité, et des questions simples et intéressons-nous à l'« invention » des mathématiques par les Grecs.
