Principes et premiers tests de la relativité générale

A - Principe d'équivalence et gravitation relativiste

La théorie de la relativité, telle qu'elle avait été formulée par EinsteinEinstein en 1905, péchait par deux omissions :

• elle ne disait rien de la façon dont les observateurs accélérés perçoivent le monde et les lois de la physique ;
• elle n'incluait pas la gravitation dans l'ensemble des théories physiques décrites par des lois indépendantes de l'observateur inertiel.

Mais, comme le remarqua Einstein, "accélération" et "gravitation" étaient également les deux mots-clés d'un phénomène observé expérimentalement et déjà plusieurs fois mentionné ici : l'universalité de la chute libre des corps. Adepte des expériences de pensée¹ (Gedankenexperiment en Allemand), Einstein essaya donc d'imaginer ce que verrait un observateur en chute libre dans un champ de gravitation, ce qu'il décrivit plus tard comme "l'idée la plus heureuse de son existence" et qui l'amena à découvrir un principe capital, le principe d'équivalence. En effet, s'imaginant cloîtré dans un ascenseurascenseur en chute libre sans possibilité d'observer l'environnement extérieur, Einstein réalisa qu'aucune des expériences de mécanique qu'il pourrait faire ne l'empêcherait de se croire inertiel et éloigné de toute source de gravitation. Cependant, ceci était vrai uniquement du fait de l'égalité, pour tous les objets, des masses grave et inerte. Cette égalité impliquait ainsi que, s'il lançait un objet droit devant lui, il le verrait continuer sur une trajectoire rectiligne uniforme, même si tout observateur immobile dans le champ de gravitation verrait l'ascenseur et son contenu chuter avec des accélérations identiques. Et inversement, si l'on suppose l'ascenseur situé loin de toute source de champ gravitationnel et tracté avec une accélération constante, un observateur enfermé dans ce "référentiel accéléré" pourrait parfaitement se croire situé dans un champ de gravitation et n'aurait aucun moyen mécanique de discerner une accélération liée à l'action d'une force de traction de celle liée à un champ de gravitation.

Au-dessus, illustration du principe d'équivalence entre masses grave et inerte. En dessous, illustration de l'apparente inertialité, du point de vue d'un observateur en chute libre (celui lié à la maison), de la trajectoire d'un objet lancé dans un champ de gravitation. Sources Simon Balm; Bibliothèque de l'Université de Winnipeg.

Tout ce qui précède aurait pu être formulé dès l'époque de Newton, néanmoins, le génie d'Einstein fut de considérer toutes ces choses d'un nouveau point de vue, et d'affirmer que la réelle signification de l'observation bien connue de l'universalité de la chute libre n'était pas l'identité des masses graves et inertes, mais celle de la gravitation et de l'accélération : un changement de référentiel adéquat peut toujours supprimer en apparence l'effet d'un champ de gravitation. Toutefois, ce principe ne pouvait être vrai que localement, étant donné qu'un champ réel, tel que le champ de gravitation terrestre, n'est pas constant, ce qui implique, sur une distance suffisante, une déviation entre les trajectoires de deux objets en chute libre (on parle "d'effet de maréemarée" ou de "déviation géodésique").

Illustration de la différence entre une accélération uniforme (à gauche) et un champ de gravitation réel (à droite), lorsque l'on considère non pas uniquement l'action locale, mais celle sur un domaine plus étendu. L'effet de marée pousse les masses ponctuelles à se rapprocher lentement l'une de l'autre. Source Clifford Johnson.

Einstein détenait ainsi les deux premiers éléments-clés de la future "relativité généralerelativité générale":

• pour que le principe de relativité traite également des référentiels accélérés, il était inévitable de s'intéresser à la gravitation ;
• puisque gravitation et accélération ne peuvent, en toute rigueur, se compenser que localement, la relativité générale devait inévitablement être une théorie locale, ce qui paraissait cohérent avec une action de la gravitation qui ne se fasse pas "à distance", mais "par contact".

Par ailleurs, puisque sa reformulation du principe de relativité avait consisté à inclure l'électromagnétismeélectromagnétisme dans les théories relativistes, Einstein eut rapidement l'intuition que la lumièrelumière devait également être affectée par un champ de gravitation. En effet, si l'on imagine, dans un ascenseur en chute libre, une source lumineuse qui émet soudain un rayon lumineux, deux possibilités existent. Soit un observateur situé dans l'ascenseur constate que la lumière suit une trajectoire rectiligne, et ceci implique que, pour un observateur à la surface de la Terre, la trajectoire suivie par la lumière n'est pas rectiligne ; soit l'observateur dans l'ascenseur constate lui-même que la trajectoire de la lumière n'est pas rectiligne, alors qu'elle semble l'être pour l'observateur au sol. Cependant, pour Einstein, il n'y a aucune hésitation à avoir : l'observateur au sol ne peut aucunement se croire inertiel car il est plaqué au sol dans un champ de gravitation, alors qu'en revanche, l'observateur en chute libre peut localement se croire inertiel. Ainsi, il semblerait logique que ce soit par rapport à l'ascenseur que la lumière se déplace en ligne droite, ce qui signifie également qu'elle doit être affectée par le champ de gravitation, comme tout objet physique². Notons de plus que ceci est cohérent avec le principe d'équivalence entre masses inerte et grave, la relativité restreinterelativité restreinte ayant montré que l'inertieinertie était liée à l'énergieénergie et non à la seule masse (il faut cependant noter que parler "d'inertie de la lumière" est un non-sens car la norme de sa vitessevitesse ne peut pas varier). Fort de ce raisonnement, Einstein écrivit dès 1911 un article dans lequel il prédisait l'influence de la gravitation sur la lumière, et où il montrait que cette influence, en plus d'une déviation de la lumière passant à proximité du SoleilSoleil, devait se traduire par un "rougissement" de la lumière émise par un objet céleste massif (on parle de "l'effet Einstein") : la fréquencefréquence de la lumière observée loin de la source est plus faible que celle avec laquelle elle a été émise à la surface de l'objet.

Cependant, cette hypothèse d'une influence possible de la gravitation sur la lumière, est vraiment cruciale en relativité générale, et elle témoigne de la différence fondamentale entre le point de vue d'Einstein sur la gravitation relativiste et les points de vue des autres protagonistes, tels Poincaré ou Nordström. En effet, plaçant le principe d'équivalence en première position des postulatspostulats de sa théorie, Einstein fait le choix, dès 1912, de renoncer à une formulation covariante de Lorentz de la gravitation, pour plutôt donner à cette dernière un rôle particulier vis-à-vis des autres phénomènes physiques, approche qui lui permet également d'élargir son principe de relativité à tous les observateurs, même accélérés. Ainsi, alors que tous les autres essayent de modifier la gravitation pour l'exprimer dans l'espace-tempsespace-temps de Minkowski, Einstein emprunte une toute autre voie et préfère modifier, encore une fois, la conception de l'espace-temps. Selon son point de vue, l'universalité de la gravitation et celle de la chute libre des corps trouvent une seule et même explication, qui est que la gravitation n'est pas une "force" comme les autres, mais uniquement une expression de la géométrie de l'espace(-temps). Si les observateurs en chute libre peuvent se croire inertiels, c'est parce qu'ils le sont, tout comme les observateurs lorentziens en absence de champ gravitationnel. Simplement, lorsqu'une source de champ gravitationnel existe, la géométrie est modifiée, et l'espace(-temps) ne doit plus être considéré comme euclidien (ou plat), mais courbe (ou riemannien). Par ailleurs, puisque l'on savait depuis Minkowski que l'espace et le temps n'étaient que des illusions, l'objet absolu "réel" étant l'espace-temps minkowskien, Einstein en vint plus précisément à renoncer à la géométrie minkowskienne pour adopter une géométrie pseudo-riemannienne qui permet de décrire un espace-temps courbe.

Dans cette approche, le fait que les trajectoires suivies par les observateurs "en chute libre" (c'est-à-dire tous ceux qui ne subissent aucune force réelle) ne sont plus des lignes droites, mais d'autres trajectoires, trouve une explication naturelle. Ces trajectoires, généralisant la notion de "droite euclidienne", ne dépendent que de la géométrie et absolument pas de la nature de l'observateur "qui chute". Et puisque la lumière est, comme tout autre objet physique, elle aussi incluse dans l'espace-temps, il est inévitable qu'elle soit également affectée par un champ de gravitation, même si la masse nulle du photonphoton implique que les lignes d'universunivers suivies ne sont pas les mêmes que celles des particules massives. La relativité générale étant une géométrisation de la gravitation via la géométrie riemannienne, il devient inévitable, pour mieux comprendre l'essence de la théorie d'Einstein, de dire quelques mots sur cette géométrie, évidemment sans nécessairement entrer dans les détails.

B - Géométrie riemannienne et géodésiques

La géométrie étudiée dès l'école primaire, et quotidiennement utilisée, est celle dite d'EuclideEuclide, mathématicienmathématicien grec du IVème siècle avant notre ère. Ce dernier définit rigoureusement les notions familières de plan, de droite, de point, etc., formalisant toute sa théorie dans ses Eléments, divisés en 13 livres, qui commencent par diverses définitions et 5 postulats fondamentaux. Toutefois, parmi ces postulats, il en est un qui fit couler beaucoup d'encre, celui qui est connu sous le nom de "cinquième postulat d'Euclide", ou encore de "postulat des parallèles". Il dit que "étant donnés une droite et un point extérieur à celle-ci, il n'existe qu'une seule droite, passant par ce point, qui soit parallèle à la première droite et contenue dans le plan que celle-ci définit avec le point qui lui est extérieur"³. En effet, la question se posa longtemps de savoir si ce postulat en était réellement un, ou s'il pouvait être démontré à partir des autres et n'était donc qu'un théorèmethéorème.

Illustration du cinquième postulat d'Euclide : étant donnée la droite (BC) et le point A, il n'existe qu'une seule droite parallèle à (BC) passant par A. L'énoncé initial du postulat porte en fait sur les valeurs des angles (MAC) et (NAB) comparées avec celles des angles (ACB) et (ABC).

La question ne fut définitivement tranchée qu'au XIXème siècle par les mathématiciens allemand Carl Friedrich Gauss, russe Nikolai Ivanovich Lobachevski et hongrois János Bolyai, qui construisirent, indépendamment les uns des autres, des "géométries courbes" dans lesquelles ce cinquième postulat était modifié, le nombre de parallèles étant nul ou bien même infini. Ces géométries étant tout aussi cohérentes que celle d'Euclide, ce cinquième postulat en était bien un. Toutefois, le mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard RiemannBernhard Riemann apporta une contribution plus que considérable au problème, lorsqu'il formula, quelques années plus tard, ce qui est désormais connu sous le nom de "géométrie riemannienne". Il s'agissait de la généralisation, à des espaces de dimensions quelconques, de la notion de courbure introduite par Gauss, les géométries de Gauss, Bolyai, Lobachevski et même celle d'Euclide ne devenant que des exemples particuliers de "géométries riemanniennes" (un espace euclidien - ou pseudo-euclidien comme l'espace de Minkowski - est un espace de courbure nulle). Plus étonnant encore, au cours de l'élaboration de sa géométrie, Riemann eut l'intuition que puisqu'elle était plus vaste et générale que celle d'Euclide, elle était peut-être, malgré les apparences, plus en accord avec le "monde réel".

En effet, malgré les affirmations du philosophe allemand Emmanuel Kant, l'espace n'a aucune raison d'être a priori euclidien, puisque, même si les expériences faites semblent en accord avec la géométrie euclidienne, nous ne pouvons faire des mesures que de proche en proche et sur de courtes distances. Or, une particularité de la géométrie euclidienne est qu'elle peut également être formulée de manière "globale", toutes les propriétés étant indépendantes de l'échelle de mesure utilisée. En revanche, les espaces riemanniens sont localement identiques à l'espace euclidien, mais peuvent ne pas être homogènes, isotropesisotropes, ou bien encore "invariantsinvariants d'échelle". Cette remarque, qui peut au premier abord paraître un peu abstraite, n'est cependant que la transcriptiontranscription d'une chose bien connue désormais : même si le sol nous semble plat, nous savons bien que ce n'est vrai que localement, la Terre étant une surface courbe plus proche d'une sphère que d'un plan. L'intuition de Riemann était donc tout simplement que l'apparente platitude de l'espace n'était peut-être qu'une illusion similaire à celle de la platitude du sol, seules des mesures sur des distances plus grandes pouvant trancher cette question. Ainsi, comme le fit indépendamment plus tard Einstein, Riemann avait compris que la géométrie de l'espace ne pouvait qu'être déterminée expérimentalement⁴.

Illustration du fait que la sphère (ou toute autre surface courbe lisse) peut localement être assimilée à un plan. Source C. Caignaert.

Concernant cette détermination expérimentale, il convient de faire une dernière parenthèse mathématique au sujet de la notion de courbure. En effet, il existe deux sortes de courbures : la courbure intrinsèque, et la courbure extrinsèque, seule la première étant "expérimentalement mesurable" et bien définie pour un être "inclus" dans l'espace qu'il étudie. Plus précisément, la courbure intrinsèque d'un espace peut être mesurée directement à l'aide de l'étude des propriétés de figures géométriques incluses dans cet espace. Ainsi, dans le cas des surfaces, la courbure intrinsèque peut, par exemple, être déterminée en étudiant les triangles que l'on peut tracer sur cette surface, la somme des angles d'un triangle n'étant égale à 180° que dans le cas d'une surface plane (voir la figure suivante).

Illustration de la détermination du signe de la courbure intrinsèque d'une surface à l'aide d'un triangle tracé sur celle-ci. Si la surface est plate (= euclidienne), la somme des angles d'un triangle sera toujours égale à 180°. En revanche, si la courbure est positive (figure centrale), cette somme sera plus grande, ou plus petite si la courbure est négative (figure inférieure). On note que, par définition, les côtés d'un triangle sont des "géodésiques" (voir plus loin dans le texte), la généralisation pour les espaces courbes de la notion de ligne droite euclidienne. Source  B.S. Ryden.

Une autre façon de déterminer le signe de la courbure intrinsèque est de considérer, en un point donné, le plan tangent à la surface et de regarder le comportement de la surface vis-à-vis de ce plan tangent, autour du point considéré. Si la surface ne touche pas le plan et reste située du même côté (cas de la sphère), la courbure est positive. Si la surface intercepte le plan et le traverse même (cas de la "selle de cheval"), la courbure est négative. Enfin, si la surface possède une droite d'intersection avec le plan, mais ne le traverse pas, la courbure est nulle (cas du plan ou du cylindre, voir la figure suivante)

La courbure extrinsèque est, quant à elle, une grandeur qui n'est définie que lorsque l'on considère un espace géométrique comme étant une partie d'un espace de dimension supérieure. C'est par exemple ce que l'on fait lorsque l'on considère une surface comme étant intérieure à un espace tridimensionnel. Ainsi, on pourrait a priori croire que le cylindre est une surface courbe, pourtant, si l'on trace un triangle à la surface d'un cylindre, on constate aisément que la somme de ces trois angles fait bien 180°: le cylindre ne possède qu'une courbure extrinsèque (voir la figure suivante). Une autre façon de comprendre ce résultat est de se dire qu'un cylindre n'est rien d'autre qu'un "plan roulé", et que tant que l'on peut "dérouler" une surface et la mettre à plat sans la déchirer, cela signifie qu'elle n'est pas intrinsèquement courbe. Ce qui n'est qu'une manière compliquée de dire qu'il est impossible de faire un patron de sphère avec une seule feuille de papier sans avoir par la suite à découper une partie de la feuille pour obtenir la sphère.

Equivalence intrinsèque entre le tore et le plan euclidien. Même si, considéré comme une surface plongée dans un espace de dimension supérieure, le tore possède une courbure extrinsèque, celle-ci ne le caractérise pas réellement car elle n'est définie de manière unique qu'une fois donné le "plongement". Source  R.Gardner.

Cette digression sur les deux courbures était importante, car elle permet d'insister sur le fait que, par la suite, la seule courbure mentionnée sera la courbure intrinsèque, grandeur qui est, en quelques sortes, "absolue" et peut donc être déterminée expérimentalement. Plus précisément, dans sa théorie de la relativité générale, Einstein postule que l'espace-temps est un espace riemannien, la déviation des trajectoires entre observateurs en chute libre dans un champ gravitationnel n'étant qu'une "preuve observationnelle" de la courbure intrinsèque induite par la source du champ. Autrement dit, selon Einstein, si les observateurs en chute libre dans un champ de gravitation peuvent localement se prétendre inertiels, c'est parce qu'ils le sont réellement : les observateurs inertiels sont ceux qui sont en chute libre, c'est-à-dire qui ne subissent aucune autre force que la gravitation. Cependant, l'influence de la gravitation (=la courbure intrinsèque de l'espace-temps), ne peut être "gommée par un changement de coordonnées" que localement, et il persiste la trace d'une courbure lorsque l'on s'intéresse à la physique, ou aux trajectoires des observateurs inertiels, sur des domaines étendus. Plutôt que de suivre des "lignes droites", comme c'était le cas en relativité restreinte, les observateurs inertiels de la relativité générale suivent des géodésiques, courbes qui sont localement équivalentes à des droites et généralisent celles-ci dans le cadre de la géométrie riemannienne.

En effet, la notion de droite énoncée par Euclide est celle d'une ligne qui est identique à elle-même en tous points, cependant, une autre définition possible est de dire qu'une ligne droite est le plus court chemin joignant deux points donnés. Ainsi, on peut étendre cette dernière définition au cas des espaces courbes (=riemanniens), la constructionconstruction globale de la courbe se faisant de proche en proche, jusqu'à donner une géodésique. Les géodésiques en tant que généralisations naturelles des lignes droites sont d'ailleurs des objets mathématiques très utilisés. Par exemple, lorsque l'on marche droit devant soit, la Terre n'étant pas plate mais courbe, on ne suit pas une ligne droite, mais bien une géodésique : en continuant suffisamment on se retrouve à son point de départpoint de départ. Et le fait que ces trajectoires sont les plus courtes est également très important pour la navigation aérienne ou maritime, ce qui explique pourquoi les avions traversant l'Atlantique se rapprochent du Pôle Nord, alors que sur une carte cela semble rallonger la distance. Ce dernier point est d'ailleurs lié à l'impossibilité (mentionnée plus haut) de faire un patron de sphère avec une feuille plate, problème qui interviendra plus tard lors de la description de la chute d'une particule dans un trou noirtrou noir. Toutefois, avant d'en arriver à la description de ces "objets" dont l'existence a été prédite par la relativité générale, il reste nécessaire de finir brièvement la description de la relativité générale, de la façon dont Einstein finit par la découvrir et de ses premiers tests expérimentaux.

Illustration, par la déviation qui apparaît entre deux géodésiques suffisamment prolongées, des trois types de courbure possibles pour une surface riemannienne (=espace bidimensionnel) localement équivalente au plan euclidien. Le premier espace est l'espace euclidien lui-même, partout plat ; le deuxième est similaire à la surface de la Terre, avec une courbure positive, et le dernier possède une courbure négative, comme c'est le cas pour les géométries de Bolyai et Lobachevski. Dessins à rapprocher de la figure précédente illustrant l'effet de marée. Source "Journey into Gravity and Spacetime" par J.A. Wheeler, Scientific American Library.

C - L'émergence de la relativité générale

Dès 1911, Einstein avait compris les grands principes de ce que serait sa théorie de la relativité générale :

• le principe de relativité tel qu'il a été formulé dans la relativité restreinte est universel, il s'applique à tous les observateurs inertiels (localement ou non), qui sont tous ceux en chute libre ;
• s'il existe une source de champ gravitationnel, l'espace-temps est courbe, et quelque soit cette courbure, les observateurs inertiels suivent les "géodésiques du genre temps" de cet espace-temps⁵ ;
• une accélération est localement toujours équivalente à l'existence d'un champ de gravitation.

Les seules tâches qu'il lui restait étaient donc de formuler tout ceci mathématiquement et de découvrir précisément comment une source de gravitation courbe l'espace-temps, ce qui revenait à trouver l'équationéquation symbolique déjà mentionnée :

 Variation relativiste du champ relativiste de gravitation = densité relativiste de masse-énergie.

Einstein, qui ignorait tout de la géométrie des espaces courbes à cette époque, demanda l'aide d'un de ses amis, le mathématicien allemand Marcel Grossmann. Celui-ci, qui n'était initialement pas non plus expert en ce domaine précis, se plongea dans le travail de Riemann et celui de ses "successeurs", le mathématicien allemand Elwin Bruno Christoffel, ainsi que les Italiens Gregorio Ricci-Curbastro et Tullio Levi-Civita. Les diverses fausses pistes suivies par Einstein et Grossmann ne seront pas détaillées, l'important étant qu'en 1913, ils cosignèrent le premier article dans lequel la gravitation était décrite à l'aide d'un "tenseurtenseur métrique", tenseur naturellement issu de la géométrie riemannienne et qui caractérise les espaces courbes. Ce tenseur, qui ne sera que très brièvement décrit, est composé de 10 coefficients indépendants (il est symétrique), 10 "potentiels gravitationnels", et permet de généraliser aux espaces-temps courbes la notion de distance spatio-temporelle introduite par Minkowski. Chacun des coefficients de ce tenseur dépendant de la position dans l'espace-temps, l'idée est de remplacer la définition globale et plate de Minkowski par une définition locale et courbe. Dans un premier temps, il faut réécrire la formule de Minkowski donnant la distance séparant deux événements, de coordonnées (x₁,tt₁) et (x₂,t₂),

 S² = c² (t₂-t₁)² - (x₂-x₁)²,

dans le cas où ces deux événements sont proches, ce qui permet d'aboutir à la définition locale

 ds² = c² dt² - dx²,

où les événements ont pour coordonnées (x₁,t₁) et (x₁+dx,t₁+dt), le carré de la distance étant désormais ds². Ces deux équations sont strictement équivalentes, mais la seconde est locale, alors que la première était globale. Or, comme cela a déjà été dit, la géométrie riemannienne fait nécessairement appel à des notions locales, les espaces riemanniens n'étant pas nécessairement uniformes. Ainsi, partant de cette seconde distance spatio-temporelle, locale mais plate, on introduit naturellement la courbure locale en écrivant que la distance doit être définie de manière plus générale par

 ds² = g_tt dt² + g_xx dx² + 2 g_tx dx dt,

où les coefficents g sont les coefficients de la métrique, dont on vérifiera qu'ils sont bien 10 si l'on écrit tous les termes possibles faisant intervenir deux coordonnées. Dans cette expression locale, la courbure de l'espace-temps résulte du fait que ces coefficients (qui valent 1,-1 ou 0 dans le cas de l'espace-temps de Minkowski) ne sont pas constants, mais dépendent des coordonnées (x,t) du point considéré. On note cependant que la non-constance de la métrique est une condition nécessaire non-suffisante d'existence d'une courbure (cf. le cas du plan euclidien décrit en coordonnées polaires).

Quant au principe de relativité généralisé, il stipule simplement que les changements de systèmes de coordonnées qui lient les référentiels dans lesquels les lois de la physique prennent la même forme ne sont pas uniquement ceux reliés par les transformations de Lorentz et qui laissent inchangée la distance S², mais de manière plus générale, tous les changements locaux pour lesquels ds² est une grandeur invariante. On montre que cette invariance implique celle des cônescônes de lumière, même si ces derniers ne sont plus parallèles du fait de la courbure de l'espace-temps (voir la figure suivante). Cette invariance des cônes de lumière illustre encore une fois l'importance de ces objets géométriques et souligne le fait que même en relativité générale la vitesse de la lumièrevitesse de la lumière est constante et vaut la même valeur pour tous les observateurs, malgré ce que l'on entend parfois dire. Par ailleurs, le fait que l'on doive définir localement l'invariant ds² reste également compatible avec l'existence d'un temps propretemps propre défini le long des lignes d'univers du genre temps (=géodésiques pour lesquelles ds²>0) par la relation "dτ=ds/c", et l'on fait pour les géodésiques la même classification que pour les lignes d'univers, les séparant en "genre temps", "genre espace" et "genre lumière" (ces dernières sont quelques fois aussi nommées "géodésiques nulles").

Illustration de l'espace-temps de la relativité générale (à comparer aux figures similaires pour l'espace-temps de Minkowski) où figurent des lignes d'univers de deux observateurs et certains cônes de lumière qu'ils "interceptent". Le postulat de relativité généralisé implique que ces cônes sont les mêmes pour tous les observateurs, même si la courbure de l'espace-temps fait qu'ils ne sont pas nécessairement "parallèles". Source E. Gourgoulhon.

Pour appliquer ce principe d'invariance locale et construire une théorie complète, il faut toutefois introduire tout un formalisme mathématique qui peut sembler assez abstrait pour qui ne le maîtrise pas, et c'est pourquoi avoir compris ce qui précède ne fut pas suffisant à Einstein et Grossmann pour élaborer toute la théorie. Il est néanmoins important de souligner ici que ce qui précède décrit (grossièrement) tout ce qu'il faut savoir pour élargir le principe de relativité formulé par Einstein dans sa théorie de la relativité restreinte à tous les observateurs, même accélérés. L'invariance locale et générale (pas seulement vis-à-vis de transformations linéaires des coordonnées) du ds² (avec le formalisme de géométrie riemannienne associé) est suffisante pour appliquer le principe de relativité généralisé au cas d'un espace-temps où la gravitation n'existerait pas, par exemple l'espace-temps de Minkowski. Cependant, ceci n'était pas le plus important ni le plus problématique pour Einstein et Grossmann, la relativité générale allant bien plus loin que cela puisqu'elle ne se contente pas d'être une généralisation du principe de relativité à tous les observateurs libres : elle est également une théorie de la gravitation relativiste. Ce qui prit le plus de temps à Einstein et Grossmann est d'obtenir l'équivalent de l'équation de Newton décrivant le champ gravitationnel créé par une distribution de masse donnée, c'est-à-dire l'équation symbolique déjà mentionnée. Ils disposaient pour cela d'un critère de sélection très fort : appliquée au cas de faibles champs gravitationnels, la nouvelle théorie de la gravitation devait redonner celle de Newton.

Pourtant, avec l'introduction de la métrique spatio-temporelle locale comme généralisation relativiste du potentiel gravitationnel, on pourrait croire que les termes de l'équation symbolique étaient presque complètement définis, puisqu'il était également décidé que la "densité relativiste de masse-énergie" serait le tenseur-énergie impulsion mentionné précédemment. Effectivement, seule la "variation relativiste" du champ de gravitation restait inconnue, mais la détermination de cet opérateur mathématique⁶ prit plusieurs années à Einstein (Grossmann abandonna la collaboration en route), qui n'obtint sa version définitive des "équations d'Einstein" qu'à la fin de l'année 1915. Peu de temps après, le mathématicien allemand David HilbertDavid Hilbert, avec qui Einstein avait longuement discuté de ses idées et problèmes mathématiques, proposa d'ailleurs une autre dérivation de ces équations qui repose sur un principe variationnel et sur ce qui est désormais connu comme le "lagrangienlagrangien d'Einstein-Hilbert"⁷. Et même si la véritable validation de la théorie par l'expérience vint assez rapidement, Einstein était, dès l'envoi de son article (le 25 novembre 1915), persuadé de la "justesse" de ses équations par le calcul qu'il avait fait concernant ce qui est considéré comme l'un des trois tests fondamentaux de la relativité générale : l'avance du périhéliepérihélie de MercureMercure.

Equations d'Einstein de la relativité générale avec constante cosmologiqueconstante cosmologique (lambda à droite). A gauche, figure le tenseur d'Einstein G qui décrit la géométrie de l'espace-temps, à droite apparaît le tenseur d'énergie-impulsion T qui décrit le contenu matériel. Selon la phrase de Wheeler "l'espace-temps dit à la matièrematière comment elle doit bouger et la matière dit à l'espace-temps comment il doit se courber".

D - Les trois tests fondamentaux

Vers le milieu du XIXème siècle, l'astronomeastronome français Urbain-Joseph Le Verrier mesura avec précision le déplacement du périhélie (point de l'orbiteorbite d'une planète où elle se trouve à distance minimale du Soleil) de Mercure au cours du temps. Comme la théorie de Newton le prévoyait, il existait une avance du périhélie de Mercure du fait des "perturbations gravitationnelles" provoquées par l'attraction exercée sur Mercure par les autres corps du système solairesystème solaire. Cependant, alors que la théorie de Newton jointe aux planètes connues prévoyait un décalage de 529 secondes d'arcsecondes d'arc par siècle, l'observation donna une valeur de 572. Les observations étant fiables, on envisagea donc dans les années qui suivirent diverses explications astrophysiquesastrophysiques pour les 43 secondes d'arc en surplus, ces propositions allant de l'existence de Vulcain (un corps encore plus proche du Soleil que Mercure et que certains prétendirent observer, parfois à plusieurs endroits en même temps), à celle d'un assez fort applatissement du Soleil (voir par exemple le livre d'Eisenstaedt). Toutefois, aucune des idées envisagées ne fut vérifiée par d'autres moyens d'observation et/ou ne permettait de rendre compte d'un si "grand" décalage entre théorie et observation, et le mystère restait entier en 1915.

Très rapidement et avant même d'avoir obtenu la version définitive de sa nouvelle théorie de la gravitation, Einstein eut l'idée qu'une fois obtenue une théorie qui soit capable de redonner celle de Newton, un autre test décisif était le calcul de l'avancée du périhélie de Mercure. En effet, cette dernière étant la planète la plus proche du Soleil, elle se situe dans la zone où le champ gravitationnel est le plus fort et est donc susceptible de témoigner de modifications de la loi de la gravitation par rapport à celle de Newton. Or, même si, pendant les longues années où il chercha avec Grossmann à obtenir sa nouvelle théorie, Einstein testa toutes les candidates en vain, en novembre 1915 il fit un calcul qui alla même jusqu'à lui provoquer des palpitations cardiaques (selon ses propres mots) : sa théorie prévoyait exactement le bon résultat.

Illustration du phénomène d'avance du périhélie d'une planète isolée en orbite autour d'une étoileétoile. Le phénomène est provoqué par une correction apportée à la gravitation newtonienne par la théorie d'Einstein. Les effets sont très exagérés afin de rendre le décalage visible avec un nombre faible de révolutions. Source Bibliothèque de l'Université de Winnipeg.

Il est d'ailleurs intéressant de mentionner que ce phénomène existe également pour les autres corps du système solaire, son effet étant cependant bien plus faible que pour Mercure du fait de la plus grande distance au Soleil. Par exemple, pour VénusVénus, seconde plus proche planète, la différence entre la théorie newtonienne et la relativité est seulement de 8,6 secondes d'arc par siècle, valeur qui tombe à 1,35 pour Mars. Mais malgré la faiblesse de cette dernière valeur, depuis "l'atterrissage" sur Mars des sondes Vikingsondes Viking en 1976, leur suivi à l'aide d'ondes radio, pendant plusieurs années, a permis à Mars de devenir le corps dont l'avance du périhélie a été mesurée avec la plus grande précision, en parfait accord avec la prédiction de la relativité générale.

D'autre part, dans l'article de 1915 où la version finale de sa théorie est présentée, Einstein rectifia le résultat qu'il avait annoncé en 1911 au sujet du deuxième test fondamental de la relativité générale : la déviation de la trajectoire de la lumière proche du Soleil. Il avait en effet effectué le premier calcul avec une version erronée de sa théorie et le résultat prédit alors était faux d'un facteur 2. Toutefois, contrairement à l'avance du périhélie de Mercure qui était connue bien avant la théorie d'Einstein, ce second effet était une prédiction de la relativité générale, et sa vérification aurait pu avoir lieu avant 1919 sans divers "problèmes" tels que la première guerre mondiale (voir le livre d'Eisenstaedt pour plus de détails). Quoiqu'il en soit, en 1919, profitant d'une éclipse totaleéclipse totale de Soleil (ce qui permet d'observer les étoiles qui sont visibles à proximité du disque solaire sans qu'elles soient noyées dans la clarté de ce dernier), deux expéditions britanniques menées par Arthur Eddington confirmèrent la prédiction d'Einstein, les valeurs mesurées, près du cercle solaire, de l'angle de déviation par deux équipes indépendantes (1,98 +/- 0,12 et 1,61 +/- 0,3 secondes d'arc) étant en bon accord avec la valeur prédite 1,75 secondes d'arc, par opposition avec la valeur bien plus faible que l'on peut éventuellement prédire dans un cadre newtonien (la déviation plus faible fut également mesurée pour des étoiles plus lointaines, là aussi en accord avec les prédictions). Ce résultat fut d'ailleurs testé à nouveau peu de temps après à la faveur d'une autre éclipse totale de Soleil en 1922. Mais dès 1919, du jour au lendemain, Einstein acquit une renommée internationale auprès du grand public, la grande majorité des journaux sautant sur l'occasion, peu de temps après la fin de la guerre, de montrer comment un scientifique britannique avait prouvé qu'un Allemand, remettant en cause toutes les intuitions pourtant apparemment si naturelles au sujet de l'espace et du temps, avait eu raison face au grand Newton⁸.

Illustration du phénomène de déviation de la lumière lorsqu'elle passe à proximité d'un corps massif impliquant, selon l'interprétation d'Einstein, une déformation de l'espace-temps plus importante. (a): représentation schématique de la courbure; (b): positions observées au cours de l'éclipse; (c): positions réelles facilement vérifiables de nuit. Les effets sont exagérés pour rendre plus visibles la différence et le principe de l'expérience.

Le troisième "test classique" de la relativité générale concerne "l'effet Einstein", qui est le changement de fréquence subi par la lumière lorsqu'elle passe d'un endroit où le champ gravitationnel a une certaine valeur à un autre endroit où la valeur est différente. En fait, ce test, qui est équivalent à une mesure de l'influence d'un champ de gravitation sur le temps, fut plus long à réaliser que les précédents, même si la relativité générale l'a aujourd'hui passé avec grand succès dans de nombreuses conditions. Ainsi, la première vérification fut effectuée en 1960 par les Américains Robert V. Pound et Glen A. Rebka dans le champ de gravitation terrestre et avec une différence dans le champ gravitationnel ne provenant que d'une variation de hauteur de 22 mètres entre la source de lumière et le récepteur. Malgré la très faible variation relative de longueur d'ondelongueur d'onde qu'ils espéraient mesurer dans ces conditions (une partie pour 1 million de milliards, soit 10^-15), ils réussirent grâce à l'utilisation d'une des "horloges naturelles" les plus précises au monde : une désexcitation atomique menant à la production d'un photon d'énergie très précisément définie, via l'effet découvert par Rudolf Mössbauer en 1957. Comme l'illustreront certains détails historiques des chapitres suivants sur les tests plus récents de la relativité générale, l'expérience de Pound et Rebka coïncida d'ailleurs avec l'époque où, grâce au développement de l'astrophysique des hautes énergies, la relativité générale commença à devenir un sujet digne d'intérêt pour les physiciensphysiciens théoriciens, qui lui avaient auparavant préféré la physique quantiquephysique quantique et l'électrodynamique quantiqueélectrodynamique quantique.

1 Einstein répéta souvent que, tout jeune déjà, il essayait de se figurer comment le monde paraîtrait "à cheval" sur une onde lumineuse et que cela l'aida à concevoir sa théorie de la relativité.

2 contrairement à ce que l'on entend parfois dire, la théorie de Newton de la gravitation pouvait très bien s'accommoder d'une action de la gravitation sur la lumière, grâce à la vision corpusculaire de celle-ci que Newton avait. Cependant, dans le cadre de la relativité générale, la gravitation n'a pas exactement le même effet sur la lumière et sur les particules massives, du fait de la masse nulle des photons. De plus, une lumière ondulatoire ne devait pas pouvoir être "déviée" par un champ de gravitation newtonien, alors qu'elle peut également l'être dans le cas de la relativité générale.

3 Euclide définit préalablement deux droites parallèles comme "deux droites qui, contenues dans le même plan et prolongées indéfiniment, n'ont aucun point d'intersection".

4 ce point mériterait un débat plus long que ce qui est possible et souhaitable ici. Voir par exemple La Science et l'hypothèse, Poincaré (1902).

5 l'expression "géodésique du genre temps" sera définie plus loin, mais elle n'est qu'une généralisation de celle de "ligne d'univers du genre temps" précédemment rencontrée dans l'espace-temps de Minkowski. Par ailleurs, il est intéressant de signaler que quelques années après la formulation définitive de sa théorie, Einstein démontra, en compagnie de Leopold Infeld et Banesh Hoffman, que l'hypothèse du mouvementmouvement géodésique n'était pas nécessaire : le mouvement géodésique d'une particule ponctuelle est une conséquence directe des équations donnant le champ gravitationnel en fonction de la source qui le crée.

6 plus précisément, il s'agissait de déterminer le résultat de cet opérateur appliqué au tenseur métrique g, ce qui est le "tenseur d'Einstein" et fait intervenir comme ingrédient fondamental le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel.

7 bien qu'on entende parfois dire qu'Hilbert avait découvert ces équations avant Einstein (ce qu'Hilbert ne prétendit jamais), il s'agit d'une erreur liée au fait que la date à laquelle Hilbert a envoyé la première version de son article est antérieure à celle à laquelle Einstein envoya le sien. Toutefois, la première version de l'article d'Hilbert ne contient pas les équations et la version finale les donne avec comme remarque qu'elles sont bien en accord avec celles récemment découvertes par Einstein. Voir par exemple le livre d'Eisenstaedt.

8 il est important de signaler que la déviation de la lumière par un champ de gravitation a depuis été vérifiée dans d'autres cadres expérimentaux avec de bien meilleures précisions.