Théorème d'incomplétude de Gödel : qu'est-ce que c'est ?

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, démontrés par Kurt GödelKurt Gödel en 1931. On se posait alors la question de savoir si les systèmes axiomatiques proposés pour démontrer toutes les théories mathématiques connues pouvaient démontrer leur propre consistance logique. En gros, pouvait-on être sûr que l'on n'aurait jamais des démonstrations contradictoires d'un énoncé de mathématique déduit d'un des systèmes d'axiomes censés fonder les mathématiques ?

Le grand mathématicienmathématicien David HilbertDavid Hilbert, qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » théorème d'incomplétude de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude.

Le second théorème, lui, affirme que dans un système axiomatique donné permettant de faire de l'arithmétique, la proposition concernant la non-contradiction de ce système (c'est-à-dire le fait qu'on ne pourra jamais en déduire deux propositions mathématiques contradictoires) est elle-même indécidable. D'autres énoncés indécidables ont été découverts depuis. Ainsi, d'après des travaux de Gödel, puis de Paul Cohen, l'axiome du choix et l'hypothèse du continu sont des énoncés indécidables dans la théorie ZF, la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, couramment utilisée comme fondement des mathématiques.