Quand l'algèbre abstraite se marie avec la théorie des nombres

L'étude des propriétés arithmétiques et algébriques de tels ensembles de nombres et la recherche de lois de réciprocité autres que la loi quadratique ont progressivement fait émerger la théorie algébrique des nombres. Parmi ses principaux artisans, dans la deuxième moitié du XIXe siècle, on compte les Allemands Ernst Kummer, Richard Dedekind, Leopold Kronecker.

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La montée en généralité de la théorie des nombres s'est accompagnée d'une montée en abstraction. Ce faisant, plusieurs concepts importants se sont forgés. Deux de ces ingrédients essentiels de l'algèbre et de la théorie des nombres sont la notion de corps et la théorie de Galois, dont il faut dire quelques bribes avant de parler de la correspondance de Langlands.

Un corps est tout simplement un ensemble d'éléments qui peuvent s'additionner, se soustraire, se multiplier et se diviser (sauf par zéro) comme les nombres réels ordinaires, avec des règles semblables. L'ensemble Q des nombres rationnels, l'ensemble R des nombres réels, l'ensemble C des nombres complexes, l'ensemble Q(sqrt(5)) mentionné plus haut sont des exemples de corps5. L'ensemble Q(sqrt(5)) constitue d'ailleurs un exemple d'"extension" du corps Q des nombres rationnels, car c'est un corps qui contient Q et qui est construit à partir de ce dernier. Pour déterminer les propriétés arithmétiques et algébriques des corps et de leurs extensions, les mathématiciensmathématiciens disposent d'une arme à la fois puissante et abstraite : la théorie de Galois. Celle-ci tire son nom et ses idées de base des travaux d'Evariste GaloisEvariste Galois (1811-1832), mathématicien de génie, mort très jeune dans un duel aux circonstances obscures.

Galois lui-même s'était focalisé sur les équations polynomiales ; il avait démontré qu'il n'est pas possible de trouver pour les équations à une inconnue, de degré supérieur ou égal à 5, une solution générale exprimable à l'aide de radicaux (c'est-à-dire un équivalent de la fameuse formule x = (-b ± sqrt(b2 - 4ac))/(2a) qui donne la solution de l'équation générale du second degré ax^2 + bx + c = 0). En fait, la théorie de Galois ne se limite pas aux équations polynomiales ; convenablement généralisée, elle s'applique à l'étude de nombreuses autres structures algébriques, notamment à des extensions de corps quelconques. Quelle en est l'idée essentielle ? En termes modernes et de façon vaguevague, elle est, étant donnée une extension K* d'un corps K, d'associer à cette extension un certain groupe (6) de transformations, dénommé son groupe de Galois (7). L'analyse du groupe de Galois de l'extension K* de K permet ensuite d'accéder aux propriétés algébriques et arithmétiques de cette extension, alors qu'une étude directe de celle-ci serait trop ardue.